Spectre
Bonjour
J'aimerais que quelqu'un me corrige si je dis des bêtises.
- En dimension finie, si $\lambda=0$n'est pas une valeur propre de l'endomorphisme $T$, alors elle appartient à l'ensemble résolvant.
- En dimension infinie, $\lambda=0$ peut appartenir au spectre de $T$ sans être une valeur propre.
Je vous remercie.
J'aimerais que quelqu'un me corrige si je dis des bêtises.
- En dimension finie, si $\lambda=0$n'est pas une valeur propre de l'endomorphisme $T$, alors elle appartient à l'ensemble résolvant.
- En dimension infinie, $\lambda=0$ peut appartenir au spectre de $T$ sans être une valeur propre.
Je vous remercie.
Réponses
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Bonjour,
Tes définitions des notions citées ?Le 😄 Farceur -
gebraneEn fait, en dimension finie le spectre (c-à-d l'ensemble des scalaires pour lesquels $T-\lambda$ n'est pas inversible) est réduit au spectre ponctuel (ensemble des valeurs propres, c'est-à-dire les scalaires pour lesquels $T-\lambda$ n'est pas injectif).Donc si 0 n'est pas une valeur propre, il appartient automatiquement à l'ensemble résolvant (les scalaires pour lesquels $T-\lambda$ est inversible).[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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En dimension infinie et lorsque l'opérateur T est auto-adjoint compact, λ=0 est toujours dans le spectre de T, mais peut ne pas être une valeur propre.
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Oui en dim finie le spectre est exactement les valeurs propres.
Exercice pour toi en dim infinie. On considère l endomorphisme T sur l^2 qui associe (x_1,x_2,.....)----->(0,x_1,x_2,.....). Montre que 0 est valeur spectrale et que 0 n'est pas une valeur propre.Le 😄 Farceur -
$T(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)=\lambda(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)\iff(0,\alpha_1,\ldots)=\lambda(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)\iff(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)=(0,0,\ldots)$Il n'existe donc aucun vecteur non nul $v$ tel que $Tv=\lambda v$ ( ie $T-\lambda$ est injectif ). Le spectre ponctuel est donc vide. Pour le reste, je pense qu'il suffit de vérifier que l'opérateur est compact.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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Redescend sur terre!.
Un argument simple pour dire que T n'est pas inversible ?Le 😄 Farceur -
Aucun?Le 😄 Farceur
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Il y en a plein, toute suite dont le premier terme n'est pas nul
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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Une dernière question s'il vous plaît.Le théorème spectral - en dimension infinie - affirme que si H est un espace de Hilbert (séparable) et T un opérateur auto-adjoint compact sur H, l'existence d'une base hilbertienne (dénombrable) constituée de vecteurs propres de T.J'aimerais savoir si on dispose d'une méthode pratique pour déterminer cette base.Je vous remercie.
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Oui la methode pratique est que tu sois capable de chercher les vecteurs propres.
Exercice pour toi. Tu consideres le laplacien Dirichlet en dim 1 sur l'ouvert d'extrémités 0,1. Si tu es capable de chercher ces vecteurs propres tu vas gagner d’après le th spectral une base hilbertienne de ton espace fonctionnel à préciser. (Le latex me fatigue les yeux).
Le 😄 Farceur -
Pas exactement.Le 😄 Farceur
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avec les conditions aux bords : f(0)=0 et f(1)=0 ?
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Oui et il est comme de de resoudre l equation f'' +lambda f =0 (T(f)=-f'')Le 😄 Farceur
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Et les valeurs propres ? on ne s'y intéresse pas ? ( puisque en dimension finie, pour déterminer la base orthonormale, on commence par déterminer les valeurs propres )
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En cherchant les vecteurs propres, tu vas trouver les valeurs propres associées grâce aux conditions au bordLe 😄 Farceur
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Bonjour!
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