Limite d'une somme de suites

Bonjour,

pour $i \in \N$, on a $(u_{i,p})_{p \in \N}$ des suites réelles convergentes.
On sait que $(\sum \limits_{i=1}^{n} u_{i,p})_{n \in \N^{*}}$ converge vers $v_p$ quand $n \rightarrow +\infty$.
On sait que la suite $(v_p)_{p \in \N}$ converge, et on sait que $(\sum \limits_{i=1}^{n} \lim\limits_{p \rightarrow +\infty} u_{i,p})_{n \in \N^{*}}$ converge.

A-t-on $\lim\limits_{p \rightarrow +\infty} v_p = \sum \limits_{i=1}^{+\infty} \lim\limits_{p \rightarrow +\infty} u_{i,p}$?

Toute réponse ou progression est la bienvenue, même évidente.
Cordialement.