Tétraèdre quadrirectangle

rferreol2 · May 2022

Bonjour,

Ayant travaillé sur le tétraèdre trirectangle : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tétraèdre_trirectangle
je me suis intéressé aux tétraèdres quadrirectangles (non aplatis)
En cherchant sur internet il semble qu'il n'y en ait qu'un seul, par exemple : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_e9rie_4-3_Le_Bicoin.pdf

or il me semble que ce n'est pas évident, voici mon raisonnement.

Il faut répartir les 4 angles droit sur les 4 sommets, et il y a 4 possibilités sur le nombre d'angles droits par sommets :
cas 1 : 3,1,0,0
cas 2 : 2,2,0,0

cas 3 : 2,1,1,0

cas 4 : 1,1,1,1

dans le cas 1 on obtient un tétraèdre trirectangle, dont la base doit avoir 3 angles aigus strictement : à éliminer
le cas 2 est le bicoin ci-dessus
dans le cas 3 j'ai écrit le théorème de Pythagore dans les quatre faces et obtenu que le tétraèdre serait équifacial : à rejeter car les faces doivent être strictement aigües
dans le cas 4, même chose et j'obtiens aussi un tétraèdre équifacial, donc à rejeter aussi .

Êtes vous d'accord et y a t il plus simple ?

En avez vous d'autres propriétés intéressantes ?

jelobreuil · May 2022

Bonsoir Robert,

Je n'ai pas de réponses à tes questions, mais je te remercie pour ce lien : ce document me semble assez intéressant à étudier, et abordable à mon niveau !

Bien cordialement, JLB

pldx1 · May 2022

Très simple. Il y a quatre faces, et il n'y a pas deux angles droits dans la même face.
Donc il y a un angle droit par face. Cela fait $81$ possibilités. On écrit les 4 relations de Pythagore et
on élimine les arêtes hypothénusales. Lorsque cela ne veut pas s'éliminer, on jette.
Il reste 12 cas, sur le modèle: \[ \left[ \begin {array}{cccccc} [B,A,A,B]&[B,C,{\it D\_}]&[A,C,{\it D\_ }]&[A,B,{\it D\_}]&[B,A,C]& \left\{ B=c+A,C=c+a+A,b=c+a \right\} \end {array} \right] \]
Cordialement, Pierre.

Tétraèdre quadrirectangle

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