Union d'espaces topologiques

Sn · May 2022

Bonjour
Si on se fixe deux espaces topologiques A et B, est-ce que la topologie de leur union est univoquement déterminée ? Si oui, quelle est-elle ?
Bien cordialement.

gerard0 · May 2022

Bonjour.

Tu peux y réfléchir toi-même. Je reformule.

Soient $(A,T)$ et $(B,U)$ deux espaces topologiques. Existe-t-il une topologie sur $A\cup B$ telle que la topologie induite sur $A$ soit $T$ et la topologie induite sur $B$ soit $U$ ? Est-elle unique ?

Tu peux commencer par le cas où $A$ et $B$ ont une intersection non vide.

Cordialement.

Calli · May 2022

Bonjour,

On peut trouver la définition de la "topologie union disjointe" ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Réunion_disjointe#Réunion_disjointe_d'espaces_topologiques. Attention elle ne coïncide pas forcément avec la topologie naturelle de l'union quand A et B font déjà partie d'un même espace topologique ambiant ; je t'invite à chercher un exemple.

Foys · May 2022

Un candidat naturel est la topologie finale des injections canoniques $i_A: A \to A \cup B$ et $i_B:B \to A \cup B$: un ouvert de $A\cup B$ étant alors une partie $X$ de $A\cup B$ telle que $A\cap X$ $(= i_A^{-1}(X))$ est ouvert dans $A$ et $B\cap X$ est ouvert dans $B$.

EDIT: l'idée de prendre un coproduit comme Calli est peut-être meilleure d'un point de vue catégorique.

raoul.S · May 2022

Pour un cas un peu plus général (avec une intersection $A\cap B$ non vide par exemple) il faudrait considérer la somme amalgamée.

raoul.S · May 2022

D'ailleurs maintenant que j'y pense la construction de Foys devrait correspondre à la somme amalgamée $A\coprod\limits_Z B$ avec $Z=A\cap B$ muni de la topologie initiale associée aux inclusions $A\cap B\hookrightarrow A,B$.

Union d'espaces topologiques

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