Une intégrale difficile

Sarasky · May 2022

Bonjour,

je n’arrive pas à trouver une piste correcte pour calculer cette l'intégrale : $$\int x(1+nx^n)^{1/n} dx.$$

Fin de partie · May 2022

Quelles sont les bornes d'intégration?

gebrane · May 2022

Dès que n>2 , bornes ou pas ------> Fonctions speciales

Fin de partie · May 2022

Avec les bornes $0$ et $+\infty$ et le changement de variable $u(x)=nx^{n}$ formellement on se ramène à quelque chose qui ressemble à l'expression d'une fonction Bêta. Mais cela ne colle pas pour les exposants de $u$ et de $1+u$ si je vois bien.

gebrane · May 2022

@Fin de partie as-tu pris ton café matinal ? Entre les bornes 0 et + l'infini l'intégrale diverge, non ?

Fin de partie · May 2022

@Gebrane: $n$ n'est pas fixé, c'est à priori, un réel quelconque.

On a $$\text{B}(x,y)=\int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt,$$ avec $x>0,y>0$

Si on fait le changement de variable préconisé on va se retrouver avec un produit de $u^\alpha$ et $(1+u)^\beta$, le souci est que les exposants $\alpha$ et $\beta$ ne vont pas. L'intégrale n'est pas convergente quelque soit $n$ réel, si j'ai bien vu.

gebrane · May 2022

Normalement la lettre n est pour désigner un entier naturel ! .

Sara1993 · May 2022

n est un entier naturel et l’intégrale sans bornes.
je n’ai toujours rien trouvé.

JLapin · May 2022

Tu peux faire une IPP pour te débarrasser du facteur $x$.

Il y a effectivement une primitive explicite.

gebrane · May 2022

Bonjour @JLapin
Peut-on savoir cette mystérieuse ipp qui donne une primitive explicite (avec les fonctions usuelles ?)

JLapin · May 2022

Désolé, j'avais mal lu l'énoncé et répondu au calcul d'une primitive de $x\mapsto x(1+nx)^{1/n}$ à la place...

gebrane · May 2022

Merci d'avoir eclairé.

JJ · May 2022

\begin{align*}n=1\ :&\qquad \int x(1+x)dx=\frac16 x^2(2x+3)+c\\n=2\ :&\qquad \int x\sqrt{1+2x^2)}dx=\frac16\left((1+2x^2)^{3/2}-1\right)+c\\n>0\ :&\qquad\int x(1+nx^n)^{1/n}dx=\frac12 x^2\:_2F_1\left(-\frac{1}{n}\:,\:\frac{2}{n}\:,\:\frac{n+2}{n}\:,\:-nx^n\right)+c\end{align*}$_2F_1$ : fonction hypergéométrique de Gauss. En général ($n>2$) n'est pas exprimable avec un nombre fini de fonctions élémentaires.

gebrane · May 2022

C'etait dit dans mon premier message ----> fonctions spéciales

Une intégrale difficile

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