Bonjour Si on se fixe deux espaces topologiques A et B, est-ce que la topologie de leur union est univoquement déterminée ? Si oui, quelle est-elle ? Bien cordialement.
Soient $(A,T)$ et $(B,U)$ deux espaces topologiques. Existe-t-il une topologie sur $A\cup B$ telle que la topologie induite sur $A$ soit $T$ et la topologie induite sur $B$ soit $U$ ? Est-elle unique ?
Tu peux commencer par le cas où $A$ et $B$ ont une intersection non vide.
Un candidat naturel est la topologie finale des injections canoniques $i_A: A \to A \cup B$ et $i_B:B \to A \cup B$: un ouvert de $A\cup B$ étant alors une partie $X$ de $A\cup B$ telle que $A\cap X$ $(= i_A^{-1}(X))$ est ouvert dans $A$ et $B\cap X$ est ouvert dans $B$.
EDIT: l'idée de prendre un coproduit comme Calli est peut-être meilleure d'un point de vue catégorique.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
D'ailleurs maintenant que j'y pense la construction de Foys devrait correspondre à la somme amalgamée $A\coprod\limits_Z B$ avec $Z=A\cap B$ muni de la topologie initiale associée aux inclusions $A\cap B\hookrightarrow A,B$.
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