Triangle à caractériser ... — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Triangle à caractériser ...

Modifié (9 May) dans Géométrie
Bonjour,
dans un triangle ABC, on a :
sin(a) = (sin(b) + sin(c)) / (cos(b) + cos(c)) où a représente l'angle BAC, b l'angle ABC et c l'angle BCA.
Que peut-on dire de ce rectangle ?
Merci de m'aider à trouver des pistes ...
C.

Réponses

  • Modifié (9 May)
    Bonjour à tous
    Les pistes ?
    Savoir ses formules de trigonométrie ainsi que la valeur de la somme des angles d'un triangle  !
    Amicalement
    pappus
    PS
    Quant au rectangle (lequel ?) en question, j'en pense le plus grand bien comme il se doit !
  • pardon : c'est : que peut-on dire de ce triangle !
    Je vais réfléchir à vos indications.
  • Modifié (9 May)
    si j'utilise les deux formules  de trigonométrie
    sin p + sin q = 2 sin ((p+q)/2) cos ((p-q)/2)
    et cos p + cos q = 2 cos ((p+q)/2) cos ((p-q)/2)
    alors sin(a) = tan( (b+c)/2).
    Est-ce un bon début ?
    Merci.
  • Oui très bon. Tu peux alors utiliser la deuxième indication de Pappus…
  • Moi j'ai trouvé qu'il n'y a pas de tel triangle, mais il faut peut-être que je revoie mes calculs...
  • Bonsoir,

    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bon, je me suis encore trompé :(
  • Bonjour,
    si je continue car je ne vois toujours pas pourquoi le triangle doit être rectangle en A.
    sin(a) = tan((b+c)/2) donc comme a+b+c =180 alors (b+c)/2= 90 - a/2.
    D'où sin(a)=tan(90 - a/2) = 1/tan(a/2) et là comment je continue ?
    Merci !
    E.
  • Modifié (10 May)
    Notons $A,B,C$ les angles. On a : $A=\pi-B-C$, et l'hypothèse devient : $\sin (B+C)(\cos B+\cos C)=\sin B+\sin C$.
    On développe $\sin (B+C)=\sin B \cos C+ \cos B \sin C$, et on remplace $\cos^2 B$ par $1-\sin^2 B$ et $\cos^2 C$ par $1-\sin^2 C$.
    Il vient :  $\cos B \cos C (\sin B + \sin C)- \sin B \sin^2 C- \sin^2 B\sin C=0$.
    On simplifie par $\sin B+ \sin  C$, et l'on obtient : $\cos B \cos C- \sin B \sin C=0$, etc.
  • Modifié (10 May)
    Autre calcul, moins bourrin. L'égalité :  $\sin (B+C)(\cos B+\cos C)=\sin B+\sin C$ donne :
     $2 \sin \frac {B+C}2 \cos \frac {B+C}2 \cdot 2 \cos \frac {B+C}2 \cos \frac {B-C}2=2 \sin \frac {B+C}2 \cos \frac {B-C}2$,  soit :  $ 2\cos^2 \frac {B+C}2 =1$, etc
    Bien sûr, il faut connaître quelques formules de trigo, genre $\cos p+ \cos q =...$, mais je me demande si on les enseigne encore en Première-Terminale, expertes, spécialités ou autre secteur de l'usine à gaz qu'est le lycée d'aujourd'hui.
  • Modifié (10 May)
    Bonjour,
    @CIRDEC : Dans ton dernier message, en utilisant le fait que $\sin(a)= 2 \sin \frac {a}2 \cos \frac {a}2$ ta dernière relation conduit à $\sin(\frac {a}2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ce qui donne $a=\dfrac{\pi}{2}.$
    Amicalement.
  • Modifié (10 May)
    Pour terminer à partir du $\sin a =\tan (90-a/2) $ de CEDRIC:
    $x:=90-a/2, a=180-2x, \sin a=\sin 2x, \sin 2x= \tan x:=t, \dfrac{2t}{1+t^2}=t, \dfrac{2}{1+t^2}=1$ (car $t \neq 0$), $2=1+t^2, t=1$ (car $t>0$), $x=45$,$$a=90$$ Cordialement.
    Paul
  • Grand Théorème de Baire-Schwartzengloup: tant que l'on ne s'en sert pas, les formules de trigonométrie ne servent à rien.
  • Modifié (10 May)
    Merci beaucoup pour toutes ces approches !!!
    (Je ne comprends pas la dernière remarque .... le Théorème de Baire-Schwartzengloup .... qui me dépasse).
    Désolé.
    C.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!