Tu comprends l'énoncé : oui, je n'en doute pas. Tu comprends chacun des mots de l'énoncé, tu sais la définition des formes 'symplectiques'. Tu sais énormément de choses qu'un lycéen ne connaît pas.
Mais lui, il sait faire un exercice de terminale, et pas toi.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je ne comprends pas qui est X ne cette histoire de projection orthogonale. Je n'ai jamais entendu parler de projection dans le chapitre de réduction des endomorphismes.
Il y a un point de cours dont tu auras besoin : lorsque un endomorphisme est symétrique, son image et son noyau sont orthogonaux.
Commence par prouver cela.
Ensuite, tu dois bien savoir ce qu'est une projection orthogonale : applique la définition, et précise la matrice de la projection orthogonale sur la droite portée par $U$ dans une base adaptée puis dans la base canonique.
En fait, la plus grosse différence entre le post-bac et le lycée, ce n'est pas vraiment la "difficulté" intrinsèque des exercices, mais surtout le fait qu'il faut savoir mobiliser des connaissances venant de plusieurs chapitres simultanément.
Ici, on a besoin du cours sur la réduction, mais aussi celui sur les projections, celui sur les produits scalaires, celui sur les changements de base, etc.
Merci, normalement je maitrise le cours sur la projection orthogonale, j'ai fait beaucoup d'exercices dessus récemment. Soit $u \in \mathcal L(E)$ un endomorphisme symétrique. Montrons que $ \ker (u) \perp Im(u)$. Soit $x \in \ker (u)$ et $y \in Im(u)$. Alors il existe $z \in E$ tel que $y=f(z)$ et donc $<x,y>=<x,f(z)>=<f(x),z>=<0,z>=0$. Donc $\boxed{ \ker (u) \perp Im(u) }$. Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $(e_1, \cdots, e_n)$ une base orthonormée de $E$ alors l'expression de la projection orthogonale sur $F$ est donnée par la formule $\boxed{ p_F (x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n <x,e_k> e_k }$. Ici on a $\boxed{BU= \lambda U}$ avec $U$ un vecteur propre orthonormé et $\lambda >0$ l'unique valeur propre non nulle. Ici la droite portée par $U$ est une droite vectorielle c'est $D=Vect(U)$. $p_D( x) =< x,U> U$ donc $p_D (U) = U$ et si $(e_2, \cdots, e_n)$ est une base du sous espace propre associé à la valeur propre nulle, on a $p_D(e_k)=0$ pour tout $k \in [|2,n|]$ car on a une base orthogonale de vecteurs propres. Je bloque ici pour montrer que $\dfrac{1}{\lambda} B$ est la matrice de la projection orthogonale sur la droite portée par $U$.
Tu sais OShine, moi j'ai travaillé deux ans comme un fou et j'ai été admis à l'agreg cette année. J'ai préparé plus de 60 leçons , plus de 60 fiches d'exos, j'ai fait une trentaine de sujets d'agreg, je ne me suis jamais arrêté pendant deux ans... J'ai eu des résultats plus que corrects... Et pourtant, face aux maths, je me sens tout petit et encore souvent bien faible. J'ai souvent du plaisir à lire les idées des intervenants et malgré les progrès que j'ai fait, je ne comprends pas toujours tout... J'ai démarré en toute simplicité et je me suis posé des milliards de questions... Et j'ai souvent découvert que je me trompais... Tout ça pour dire, il faut apprendre les bases, ne pas viser trop haut et tu progresseras à ton rythme... On n'est pas tous égaux...
Je pense que t'as une capacité de travail impressionnante, en 2 ans je suis incapable de faire tout ça, pour faire ce que tu as fait il me faudrait 10 ans ! Je suis en effet très lent, mais en faisant des exercices de niveau abordable comme CCP je reprends un peu plaisir à faire des maths.
Je ne peux pas travailler non stop, je fais des activités à côté (danse, sport etc) puis quand je tombe sur des exercices durs, trop travailler me donnerait l'impression que je gaspille mon temps pour rien. Au moins travailler comme je le fais fait que je ne me mets aucune pression, j'apprends les maths pour apprendre et non pour un concours. Puis parfois je bosse 30 min par jour et je suis content d'avoir appris quelque chose.
Pour tout comprendre les maths de niveau L1-L2-L3 il faut être un génie, même les profs d'universités galèrent sur les sujets d'écrit d'agreg interne ou de sujets de concours de type Centrale Mines Polytechnique.
Mais avec une telle philosophie, pourquoi ne pas travailler sur des sujets de niveau terminale en premier ?
Ça te ferait également reprendre plaisir à faire des maths. Ça ne te donnerait pas l'impression de gaspiller ton temps pour rien sur des exercices trop durs. Tu n'auras pas non plus à te mettre de pression. Puis comme tu le dis, il faut être un génie pour comprendre le niveau L1, alors autant rester niveau terminale !
Si tu veux, tu peux chercher des exercices de Bac C, donc des années 80. Puis quand tu te seras bien cassé les dents, tu chercheras des exercice de Bac actuel, plus abordables.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je crois vraiment que mon niveau c'est le bac actuel ? Les exercices du bac actuel je les fais de tête sans avoir besoin d'écrire. Je te rappelle que j'ai fait une prépa MPSI/MP et que j'ai été admis à E3A (concours de niveau bac+2) avec 11/20 aux deux épreuves de maths qui étaient loin d'être simples. L'épreuve 1 était d'étudier dans un $\R$-espace vectoriel la distance d'un vecteur à un hyperplan. L'épreuve 2 sur les équations différentielles et développement en série entière, les fonctions à deux variables, les matrices et la réduction des endomorphismes.
As tu vraiment l'impression que la méthode que tu utilises depuis des années soit efficace ?
Que ce soit avec des exos X/ENS ou maintenant CCP, tu viens chaque jour sur ce forum nous dire "je ne comprends rien", "c'est impossible", "vois êtes des génies" avec des sujets que tu ne sais pas faire seul ! Il faut de multiples interventions pour qu'enfin tu commences à comprendre !
En face de cela, la quasi totalité des intervenants te propose de revoir les bases de lycée et de t'entraîner dessus. Cela va te mettre en réussite, ce qui, comme tu dois le savoir ayant toi même des élèves, est une méthode efficace pour qu'un élève qui dit tout le temps "c'est impossible" sans vraiment essayer progresse.
Choisis un sujet de baccalauréat, et essayes d'en rédiger un corrigé propre, seul ! Tu verras que c'est loin d'être facile, et que le niveau plus "faible" des épreuves te permettra de te concentrer sur tes problèmes de logique, de quantificateurs et de rédaction, chose que tu ne peux pas faire quand le niveau de l'exercice est plus élevé car tu ne comprends pas de quoi il s'agit, et qui te fait écrire tant d'énormités qui font hurler le forum.
Aucune honte à rédiger un corrigé de baccalauréat, je te promets !
Je rédige moi même des corrigés de sujets de brevet des collèges chaque année !
Pour tout comprendre les maths de niveau L1-L2-L3 il faut être un génie, même les profs d'universités galèrent sur les sujets d'écrit d'agreg interne ou de sujets de concours de type Centrale Mines Polytechnique.
Les professeurs d'université qui galèrent sur un sujet d'Agreg ou de sujet de concours d'ing..... faut pas déconner tout de même.
Imagine que de façon équivalente on dise que les professeurs certifiés galèrent sur les sujets de Bac S !
A ta décharge, il existe au moins un professeur certifié qui galère sur les exercices élémentaires de niveau collège et lycée. En effet, tu en es un exemple.
Et puisque que tu n'as toujours pas réglé tes problèmes avec les quantificateurs. Pour toi "Il existe un abruti dans la classe" est équivalent à "tous les élèves de la classe sont des abrutis".
Dans tous les exercices que tu postes, tu sèches à la première question, la mise en bouche, celle qui est 3 fois plus simple que les autres.
Tu dis que tu sais faire 'de tête' tous les exercices de bac actuel. Oui, c'est possible, tu sais proposer 'ta' solution, que tu crois correcte. Et comme personne ne te dit si elle est correcte ou pas, tu continues à croire que ta solution est correcte.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Du coup je n'ai toujours rien compris à la solution de @bisam avec les matrices de projection orthogonale. Le prof d'université qui fait des vidéos youtube galère sur tous les sujets d'agreg interne, il bloque sur de nombreuses questions.
Que tu demandes de l'aide, soit. Nous avons tous besoin des autres pour progresser.
Que tu aies des difficultés en maths, soit. Tout le monde en a, chacun à son niveau.
Que tu te permettes de juger du niveau de quelqu'un ou d'une catégorie de personnes (qui plus est quand ces personnes ont un niveau largement supérieur au tien), par pitié, arrête.
Je ne juge pas, je dis que les maths du supérieur sont tellement difficiles que même des agrégés prof d'université n'arrivent pas à résoudre toutes les questions des sujets d'écrits. Il n'y a pas de critique en disant cela. Je me dis que c'est normal si moi je bloque sur des écrits de concours vu que même pour les profs ça reste difficile.
Si, tu juges ! Tout le temps ! Et tu ne t'en rends même pas compte !
Et ça fait des années que tu collectionnes des corrigés tout en continuant à buter sur des choses élémentaires, à ne même pas voir qu'elles sont élémentaires !
Tu as même régressé depuis 4 à 5 ans, quand j'ai commencé à t'aider sur un autre forum : A l'époque, tu butais souvent sur des détails de démonstration liés à une expression fautive de l'auteur du livre que tu lisais ligne à ligne (Ah, cet arbre qui te cache la forêt !). Mais déjà, tu avais des difficultés liées à une évidente faiblesse sur les maths du lycée, voire du collège, faiblesse que tu ne voulais pas rectifier, tenant bêtement à étudier ton "livre de L1".
Et peu à peu, tu es devenu un mendiant, quémandant des explications, puis des explications des explications, à coup de "je ne comprends pas", "je ne sais pas faire", "je n'ai pas encore appris ça" (l'excuse la plus débile !!) et un triste sire qui juge des "niveaux" alors qu'il serait en difficulté sur un sujet de première !! Quelle honte ! Et ton "Je me dis que c'est normal" est encore plus lamentable ! Tu nous suggères que tu es nul, alors que tu négliges tous les conseils, tu ne veux que des corrigés. Pour quoi faire ? Tu es nul, ça ne te sert à rien ... A moins que tu aies une raison bien cachée.
Question à ceux qui l'aident : A votre avis, pourquoi OS collectionne-t-il les corrigés de sujets post bac ? Qu'en fera-t-il ? Publier un bouquin de corrigés ? Se faire valoir auprès de non matheux ?
Sur les deux corrigés de @JLapin et @bisam j'ai l'impression de lire du chinois. Je n'ai pas l'impression que ce sont des choses élémentaires.
Ca ne ressemble pas du tout aux raisonnements que j'ai pu voir dans les cours ou exercices que j'ai étudiés.
Par exemple je sais déterminer la matrice de la projection orthogonale sur un plan dans $\R^3$ mais je ne comprends rien à la matrice de projection orthogonale avec le vecteur propre.
Par exemple je sais déterminer la matrice de la projection orthogonale sur un plan dans $\R^3$ mais je ne comprends rien à la matrice de projection orthogonale avec le vecteur propre.
La matrice $\frac{1}{\lambda}B$ détermine une application linéaire sur les vecteurs colonnes, c'est simplement l'application linéaire qui à chaque vecteur colonne $X$ associe le vecteur $\frac{1}{\lambda}BX$ (tu suis jusque là... ? ). Tu dois vérifier que cette application est en fait la projection orthogonale sur la droite portée par $U$.
Sachant que $U$ est un vecteur propre de $B$ de valeur propre $\lambda$ et tenant compte de tout ce qu'a dit Bisam avant le point 5.a ça ne devrait pas être très compliqué.
Après, il faut choisir une base bien précise pour déterminer la projection du vecteur X dans cette base... Je crois qu'elle est assez claire !? Et avec les propriétés de la projection orthogonale, tu pourras conclure.
Merci. Ce qui est difficile c'est de raisonner avec les matrices, j'arrive mieux avec les endomorphismes. L'application $X \mapsto BX$ est l'endomorphisme canoniquement associé à $B$. Notons $b$ l'endomorphisme canoniquement associé à $B$. Comme $B$ est diagonalisable on a $E= Vect(U) \oplus E_{0} (B)$. Considérons une base adaptée orthonormale $B=(U, e_2, \ldots, e_n)$ où $(e_2, \ldots, e_n)$ est une base de $E_0(B)$. En colonne on a $\boxed{\dfrac{1}{\lambda} B =[ U, O_{n1}, \ldots, O_{n1}]}$. L'expression de la projection orthogonale $p_{Vect(U)} (x)= ( x | U) U + (x | e_2) e_2 + \cdots + (x | e_n) e_n$ On a $p_{Vect(U)} (U)= ( U | U) U = U$ et pour tout $k \in [|2,n|] \ p_{Vect(U)} (e_k)=e_k$ Il y a un problème je ne trouve pas la même chose...
Je ne vois pas comment exprimer $X$ dans la base orthonormée que j'ai définie. Je ne comprends pas ce calcul $\frac{1}{\lambda}BX=(U^TX)U=UU^TX$ Déjà pourquoi $\frac{1}{\lambda}BX=(U^TX)U$ ?
@OShine voici venir l'exo dans l'exo. Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire et si on te dit que $(e_1,...,e_n)$ est une base orthonormée de $E$, comment se décompose un vecteur $x\in E$ dans cette base ?
Plus précisément, on sait qu'il existe $\lambda_1,...,\lambda_n\in \R$ tels que $x=\lambda_1e_1\cdot ...\cdot \lambda_ne_n$ car $(e_1,...,e_n)$ est une base. Mais peux-tu exprimer les coefficients $\lambda_k$ à partir de $x$ et des $e_k$ à l'aide du produit scalaire ?
Si oui tu n'as qu'à faire de même avec ton vecteur $X$ d'avant...
C'est quoi un projecteur pour toi ? C'est quoi la définition d'un produit scalaire ? En trouvant les coefficients de raoul.S, décompose et utilise le fait que c'est une projection orthogonale... Il faut avouer que ce n'est pas si simple d'ailleurs mais il faut un peu de travail.
Si $X=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k e_k$ et $<X , e_i> = x_i$ Finalement $\boxed{X=\displaystyle\sum_{k=1}^n <X, e_k> e_k}$ Ici dans la base adaptée on a $X= < X, U> U + <X, e_2> e_2 + \cdots + <X,e_n> e_n$ où $(e_2, \cdots, e_n)$ est une base du noyau. Je ne comprends pas trop le rapport avec la projection orthogonale et le calcul $\dfrac{1}{\lambda} BX =$ ...
La multiplication des matrices est associative donc $UU^TX=U(U^TX)$. Or $U^TX$ est une matrice à 1 ligne et 1 colonne donc peut être considérée comme un scalaire, et la multiplication à droite par cette matrice à 1 ligne et 1 colonne revient à multiplier le vecteur $U$ par ce scalaire.
Je ne participe pas au lynchage généralisé. Cependant, il faut bien reconnaître que sous différents pseudos (Ramanujan, mehdi_128 ... ) tu as usé toutes les bonnes volontés. Ici même, les différents intervenants, bien qu'ils soient relativement bienveillants, sont en train de perdre patience.
Aussi, je me permets de te donner ce conseil : j'ai toujours considéré, peut-être à tort, qu'il fallait aller du général au particulier. Je pense que pour toi, il peut être bénéfique d'avoir une autre démarche. En l'occurrence il s'agit ici de "projecteurs" vus sous l'angle de l'algèbre.
Pourquoi ne pas les toucher du doigt dans la misérable dimension 2 ?
Voici un sujet de bac Clermont Ferrand 1972 où tu peux te pencher sur le problème : de la géométrie affine où il est bel et bien question de projecteurs dans quelques cas particuliers.
Libre à toi de tester les théorèmes généraux sur ce problème. Tu as tout à y gagner.
Réponses
Mais lui, il sait faire un exercice de terminale, et pas toi.
Je ne comprends pas qui est X ne cette histoire de projection orthogonale.
Je n'ai jamais entendu parler de projection dans le chapitre de réduction des endomorphismes.
Mais je ne comprends pas la solution de @bisam avec la matrice de projection orthogonale et le calcul avec le $X$.
Soit $u \in \mathcal L(E)$ un endomorphisme symétrique. Montrons que $ \ker (u) \perp Im(u)$.
Soit $x \in \ker (u)$ et $y \in Im(u)$. Alors il existe $z \in E$ tel que $y=f(z)$ et donc $<x,y>=<x,f(z)>=<f(x),z>=<0,z>=0$.
Donc $\boxed{ \ker (u) \perp Im(u) }$.
Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $(e_1, \cdots, e_n)$ une base orthonormée de $E$ alors l'expression de la projection orthogonale sur $F$ est donnée par la formule $\boxed{ p_F (x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n <x,e_k> e_k }$.
Ici on a $\boxed{BU= \lambda U}$ avec $U$ un vecteur propre orthonormé et $\lambda >0$ l'unique valeur propre non nulle.
Ici la droite portée par $U$ est une droite vectorielle c'est $D=Vect(U)$.
$p_D( x) =< x,U> U$ donc $p_D (U) = U$ et si $(e_2, \cdots, e_n)$ est une base du sous espace propre associé à la valeur propre nulle, on a $p_D(e_k)=0$ pour tout $k \in [|2,n|]$ car on a une base orthogonale de vecteurs propres.
Je bloque ici pour montrer que $\dfrac{1}{\lambda} B$ est la matrice de la projection orthogonale sur la droite portée par $U$.
Tu sais OShine, moi j'ai travaillé deux ans comme un fou et j'ai été admis à l'agreg cette année. J'ai préparé plus de 60 leçons , plus de 60 fiches d'exos, j'ai fait une trentaine de sujets d'agreg, je ne me suis jamais arrêté pendant deux ans... J'ai eu des résultats plus que corrects... Et pourtant, face aux maths, je me sens tout petit et encore souvent bien faible. J'ai souvent du plaisir à lire les idées des intervenants et malgré les progrès que j'ai fait, je ne comprends pas toujours tout... J'ai démarré en toute simplicité et je me suis posé des milliards de questions... Et j'ai souvent découvert que je me trompais... Tout ça pour dire, il faut apprendre les bases, ne pas viser trop haut et tu progresseras à ton rythme... On n'est pas tous égaux...
Je pense que t'as une capacité de travail impressionnante, en 2 ans je suis incapable de faire tout ça, pour faire ce que tu as fait il me faudrait 10 ans !
Je suis en effet très lent, mais en faisant des exercices de niveau abordable comme CCP je reprends un peu plaisir à faire des maths.
Je ne peux pas travailler non stop, je fais des activités à côté (danse, sport etc) puis quand je tombe sur des exercices durs, trop travailler me donnerait l'impression que je gaspille mon temps pour rien.
Au moins travailler comme je le fais fait que je ne me mets aucune pression, j'apprends les maths pour apprendre et non pour un concours.
Puis parfois je bosse 30 min par jour et je suis content d'avoir appris quelque chose.
Pour tout comprendre les maths de niveau L1-L2-L3 il faut être un génie, même les profs d'universités galèrent sur les sujets d'écrit d'agreg interne ou de sujets de concours de type Centrale Mines Polytechnique.
Ça te ferait également reprendre plaisir à faire des maths.
Ça ne te donnerait pas l'impression de gaspiller ton temps pour rien sur des exercices trop durs.
Tu n'auras pas non plus à te mettre de pression.
Puis comme tu le dis, il faut être un génie pour comprendre le niveau L1, alors autant rester niveau terminale !
Puis quand tu te seras bien cassé les dents, tu chercheras des exercice de Bac actuel, plus abordables.
Je te rappelle que j'ai fait une prépa MPSI/MP et que j'ai été admis à E3A (concours de niveau bac+2) avec 11/20 aux deux épreuves de maths qui étaient loin d'être simples. L'épreuve 1 était d'étudier dans un $\R$-espace vectoriel la distance d'un vecteur à un hyperplan.
L'épreuve 2 sur les équations différentielles et développement en série entière, les fonctions à deux variables, les matrices et la réduction des endomorphismes.
As tu vraiment l'impression que la méthode que tu utilises depuis des années soit efficace ?
Que ce soit avec des exos X/ENS ou maintenant CCP, tu viens chaque jour sur ce forum nous dire "je ne comprends rien", "c'est impossible", "vois êtes des génies" avec des sujets que tu ne sais pas faire seul ! Il faut de multiples interventions pour qu'enfin tu commences à comprendre !
En face de cela, la quasi totalité des intervenants te propose de revoir les bases de lycée et de t'entraîner dessus.
Cela va te mettre en réussite, ce qui, comme tu dois le savoir ayant toi même des élèves, est une méthode efficace pour qu'un élève qui dit tout le temps "c'est impossible" sans vraiment essayer progresse.
Choisis un sujet de baccalauréat, et essayes d'en rédiger un corrigé propre, seul ! Tu verras que c'est loin d'être facile, et que le niveau plus "faible" des épreuves te permettra de te concentrer sur tes problèmes de logique, de quantificateurs et de rédaction, chose que tu ne peux pas faire quand le niveau de l'exercice est plus élevé car tu ne comprends pas de quoi il s'agit, et qui te fait écrire tant d'énormités qui font hurler le forum.
Aucune honte à rédiger un corrigé de baccalauréat, je te promets !
Je rédige moi même des corrigés de sujets de brevet des collèges chaque année !
P.S il est temps de fermer ce post.
Tu dis que tu sais faire 'de tête' tous les exercices de bac actuel. Oui, c'est possible, tu sais proposer 'ta' solution, que tu crois correcte. Et comme personne ne te dit si elle est correcte ou pas, tu continues à croire que ta solution est correcte.
Le prof d'université qui fait des vidéos youtube galère sur tous les sujets d'agreg interne, il bloque sur de nombreuses questions.
Il n'y a pas de critique en disant cela.
Je me dis que c'est normal si moi je bloque sur des écrits de concours vu que même pour les profs ça reste difficile.
Ca ne ressemble pas du tout aux raisonnements que j'ai pu voir dans les cours ou exercices que j'ai étudiés.
Par exemple je sais déterminer la matrice de la projection orthogonale sur un plan dans $\R^3$ mais je ne comprends rien à la matrice de projection orthogonale avec le vecteur propre.
Sachant que $U$ est un vecteur propre de $B$ de valeur propre $\lambda$ et tenant compte de tout ce qu'a dit Bisam avant le point 5.a ça ne devrait pas être très compliqué.
L'application $X \mapsto BX$ est l'endomorphisme canoniquement associé à $B$. Notons $b$ l'endomorphisme canoniquement associé à $B$.
Comme $B$ est diagonalisable on a $E= Vect(U) \oplus E_{0} (B)$.
Considérons une base adaptée orthonormale $B=(U, e_2, \ldots, e_n)$ où $(e_2, \ldots, e_n)$ est une base de $E_0(B)$.
En colonne on a $\boxed{\dfrac{1}{\lambda} B =[ U, O_{n1}, \ldots, O_{n1}]}$.
L'expression de la projection orthogonale $p_{Vect(U)} (x)= ( x | U) U + (x | e_2) e_2 + \cdots + (x | e_n) e_n$
On a $p_{Vect(U)} (U)= ( U | U) U = U$ et pour tout $k \in [|2,n|] \ p_{Vect(U)} (e_k)=e_k$
Il y a un problème je ne trouve pas la même chose...
Oui merci. C'est $\boxed{\forall x \in E \ p_{Vect(U)} (x)=(x | U) U}$ d'où l'égalité recherchée...
Après je ne comprends pas le calcul avec $\dfrac{1}{\lambda} BX= $
Je ne comprends pas ce calcul $\frac{1}{\lambda}BX=(U^TX)U=UU^TX$
Déjà pourquoi $\frac{1}{\lambda}BX=(U^TX)U$ ?
Plus précisément, on sait qu'il existe $\lambda_1,...,\lambda_n\in \R$ tels que $x=\lambda_1e_1\cdot ...\cdot \lambda_ne_n$ car $(e_1,...,e_n)$ est une base. Mais peux-tu exprimer les coefficients $\lambda_k$ à partir de $x$ et des $e_k$ à l'aide du produit scalaire ?
Si oui tu n'as qu'à faire de même avec ton vecteur $X$ d'avant...
Il faut avouer que ce n'est pas si simple d'ailleurs mais il faut un peu de travail.
Finalement $\boxed{X=\displaystyle\sum_{k=1}^n <X, e_k> e_k}$
Ici dans la base adaptée on a $X= < X, U> U + <X, e_2> e_2 + \cdots + <X,e_n> e_n$ où $(e_2, \cdots, e_n)$ est une base du noyau.
Je ne comprends pas trop le rapport avec la projection orthogonale et le calcul $\dfrac{1}{\lambda} BX =$ ...