Endomorphisme diagonalisable
Bonsoir,
Issu d'un oral de CCINP. Je bloque à la question $1.b$.
1.a) $u^2=0$ donc $Im(u) \subset \ker (u)$ alors $rg(u) \leq \dim \ker (u)$.
D'après le théorème du rang : $\dim \ker (u)= n - rg(u)$.
Donc $rg(u) \leq n - rg(u)$ alors $2 rg(u) \leq n$.
Finalement : $\boxed{rg(u) \leq \dfrac{n}{2}}$
Issu d'un oral de CCINP. Je bloque à la question $1.b$.
1.a) $u^2=0$ donc $Im(u) \subset \ker (u)$ alors $rg(u) \leq \dim \ker (u)$.
D'après le théorème du rang : $\dim \ker (u)= n - rg(u)$.
Donc $rg(u) \leq n - rg(u)$ alors $2 rg(u) \leq n$.
Finalement : $\boxed{rg(u) \leq \dfrac{n}{2}}$
Réponses
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Demander aux autres des corrigés d'exercice, ça servirait si ça t'inspirait pour les exercices à venir. Tu as peut-être déjà oublié, mais tu as demandé ce Week-end la correction d'un exercice, où l'idée magique, c'était de choisir la base 'magique' pour que la fonction soit facile à exprimer.
Peut-être que pour cet exercice aussi, choisir une base bien magique, ça te permettrait d'avancer.
Je dis ça au cas où tu voudrais chercher l'exercice par toi-même.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
1)b) $u$ de matrice $\mathrm{diag}(\underbrace{J_1,\ldots,J_1}_{n-2r},\underbrace{J_2,\ldots,J_2}_r)$, où $J_k$ désigne la matrice de Jordan nilpotente de taille $k$ pour tout $k\in\N$.
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Merci je ne voyais pas comment utiliser le $r \leq n/2$ c'est ce qui me bloquait. Mais je savais que pour obtenir $u^2=0$ on met des $1$ sur la première ligne et la nième colonne.
$J_1 =0$ et $J_2 ^2=0$ et on fait le produit par blocs. -
Il n'y avait guère le choix pour $u$, une seule classe de similitude d'après le théorème de Jordan.
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Testons Oshine.
Donné nous un exemple! cette fois ci lorsque la dimension de l espace est 1 ?Le 😄 Farceur -
@gai requin le théorème de Jordan est hors programme des classes préparatoires...
@gebrane l'endomorphisme nul car $r \leq 1/2 \implies r=0$.
Pour la suite c'est bizarre, il me semble que 2.b est plus facile que 2.a ...
Je sais faire 2.b mais pas 2.a.
Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. Posons $E_{\lambda}= \ker (u - \lambda id_E)$.
Comme $u$ est diagonalisable, $E$ est égal à la somme directe des sous-espaces propres de $u$.
Comme $u$ et $v$ commute, $E_{\lambda}$ est stable par $v$ pour tout $\lambda$.
Ainsi la restriction de $v$ à tous les sous-espaces propres de $u$ est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres de $u$ pour chaque sous-espace propre de $u$.
En concaténant les bases, on obtient une base, on obtient une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et $v$.
Finalement, $u$ et $v$ admettent une base commune de diagonalisation.
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OShine a dit :
Pour la suite c'est bizarre, il me semble que 2.b est plus facile que 2.a ...
Je sais faire 2.b mais pas 2.a.Ainsi la restriction de $v$ à tous les sous-espaces propres de $u$ est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres de $u$ pour chaque sous-espace propre de $u$.
En concaténant les bases, on obtient une base, on obtient une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et $v$. -
Erreur de frappe il existe une base de vecteur propre de la restriction de $v$ à un sous-espace propre de $u$ donc de $v$.
Tout endomorphisme qui admet n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Mais on ne sait pas si $v$ est diagonalisable... -
$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$
Pour rendre un peu moins "magique" la réponse de @gai requin, on peut remarquer que pour fabriquer un endomorphisme $u$ qui convienne, il faut prendre un sev de dimension $r$ qui fasse office de $\im(u)$ et un sev de dimension $n-r\geq r$ qui contienne $\im(u)$ et qui fasse office de $\ker(u)$.Pour fabriquer un endomorphisme, il suffit de connaître son action sur une base.Puisque les éléments de $\im(u)$ sont censés être dans $\ker(u)$, on connait déjà l'image de $r$ vecteurs que je vais nommer $(e_{r+1},\dots,e_{2r})$ formant une base de ce sev. On complète cette base de $\im(u)$ en une base de $\ker(u)$ avec $n-2r$ vecteurs $(e_{2r+1},\dots,e_{n})$ qui sont eux aussi envoyés sur $0$ et pour $(e_1,\dots,e_r)$ on prend des antécédents respectifs de $(e_{r+1},\dots,e_{2r})$.Ça, c'est la partie "analyse". Ensuite, il reste à construire cela dans le bon ordre pour prouver l'existence d'un endomorphisme $u$ qui convienne. -
Pour 1b, on peut prendre une base $(e_1,\dots,e_n)$ et on définit $u\in{\cal L}(E)$ par $u(e_{r+1})=\dots=u(e_n)=0$ et $u(e_j)=e_{r+j}$ si $1\leq j\leq r$ (c'est possible puisque $2r\leq n$).
On a ainsi ${\rm im}(u)={\rm vect}(e_{r+j},1\leq j\leq r)\subset\ker(u)$, donc $u^2=0$. -
2)a) Si $\lambda$ est valeur propre de $u$, il existe $e\in E$ tel que $E_{\lambda}=\mathbb Re$.
Comme $u$ et $v$ commutent, $v(e)\in E_{\lambda}$.
Donc n'importe quelle base de vecteurs propres de $u$ convient.
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Oshine une question. Si u^2=0 et rg (u)=n/2. Que peux-tu dire sur le noyau et l'image ?Le 😄 Farceur
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@Gache joli merci c'est très clair
@bisam d'accord merci j'avais pensé à ça mais je ne voyais pas où utiliser $2r \leq n$...
@gebrane $Im(u) \subset \ker(u)$ donc $rg(u) \leq \dim \ker (u)$ donc $n/2 \leq \dim \ker(u)$ je ne vois pas où tu veux en venir.
@gai requin merci je n'avais pas pensé à utiliser la dimension des sous-espaces propres !
On a $Sp(u) = \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_n \}$ avec les $\lambda_i$ distincts. Les $E_{\lambda_i}$ sont des droites vectorielles et $E=\bigoplus_{i=1}^n E_{\lambda_i}$.
On peut noter $E_{\lambda_i} = e_i \R$ avec $e_i$ un élément de $E$ et $(e_1, \cdots, e_n)$ est une base de diagonalisation de $u$.
Comme $u$ et $v$ commutent alors $E_{\lambda i }$ est stable par $v$ donc $\forall i \in [|1,n|] \ v(e_i) \in E_{\lambda_i}$
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$rg(u)=\dim \ker (u)= n/2$ je ne vois pas quoi dire de plus.
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On peut faire un poil mieux que $Im(u) \subset \ker(u)$...
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Je ne sais pas faire mieux...
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Bonjour
Pourtant $Im(u) = \ker(u)$, c'est mieux.
Cordialement,
RescassolPS. J'en avais marre de voir le feignant en action, si je puis dire .
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Oui en effet inclusion + même dimension.
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Bonjour!
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