Intégrabilité d'une fonction
Bonjour,
comment étudier l'intégrabilité en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{\sqrt{\pi}}{2} - \int_0^x e^{-t^2} dt $ ?
Dans le même style, j'ai étudié l'intégrabilité en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{\pi}{2} -\arctan(x)$ (non intégrable) ou $x \mapsto 1-\tanh(x)$ (intégrable) mais celles-ci sont plus faciles car la fonction est explicite, pas d'intégrale.
Vous remerciant par avance.
comment étudier l'intégrabilité en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{\sqrt{\pi}}{2} - \int_0^x e^{-t^2} dt $ ?
Dans le même style, j'ai étudié l'intégrabilité en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{\pi}{2} -\arctan(x)$ (non intégrable) ou $x \mapsto 1-\tanh(x)$ (intégrable) mais celles-ci sont plus faciles car la fonction est explicite, pas d'intégrale.
Vous remerciant par avance.
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Réponses
$\int_x^{+\infty} e^{-t^2}(\int_0^{+\infty}dx)dt = ?? $
$\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\Big(\int_0^t dx\Big)dt = 1/2 \ ? $
Si c'est juste, j'ai trouvé à tâtons, je ne connais pas la méthode systématique pour trouver les bornes d'intégration lors de la permutation de l'ordre des intégrales dans les intégrales doubles comme ici.
-suivant des coupes // à ox
-suivant des coupes // à oy
$\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\, \mathrm{d}x =\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty}1_{t \geq x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\, \mathrm{d}x = \displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty}1_{t \geq x}e^{-t^2}\,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}t = \displaystyle \int_0^{+\infty} \int_0^t e^{-t^2}\,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}t $
$~~~~~~~~~~~~=\int_{0}^{+\infty }(\int_{0}^{+\infty }1_{t\geq x}(x,t)e^{-t^{2}}dx)dt=\int_{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}(\int_{0}^{+\infty }1_{t\geq x}(x,t)dx)dt$
$~~~~~~~~~~~~=\int_{0}^{+\infty }e^{-t^{2}}tdt=[-\frac{1}{2}e^{-t^{2}}]_{t=0}^{t\rightarrow +\infty }=\frac{1}{2}$.
Et tu as oublié un $t$ dans ton calcul
Qui a compris le Fou gebrane ?
En plus la limite de $\sin(t^2)$ en $+\infty$ n'existe pas...
Ce résultat me laisse perplexe...qu'en pensez-vous ?
Comment montre-t-on qu'elles sont positives au fait (question $6$)??
Et sinon l'exercice $19$ m'intrigue pas mal aussi...j'ai essayé des IPP, des changements de variable, en vain !