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Dans le triangle de Pascal

$x,y,z$ sont trois termes consécutifs d'une ligne du triangle de Pascal.
Montrez que le nombre $2y^2+xy-xz$ divise $2xz^2+yz^2-y^2z$.

Réponses

  • Bonjour
    modulo une erreur de calcul, il suffit de prouver que $p+1$ et $p+2$ divisent $\dbinom{n}{p}(n-(p+1))$?
    Cordialement
    Paul
  • En fait, si $x, y, z, t$ sont quatre coefficients binomiaux consécutifs,
    $$\dfrac{2xz^2+yz^2-y^2z}{2y^2+xy-xz}=t$$
  • Exactement !
  • Modifié (24 May)
    J'ai trouvé comme Cidrolin et depasse. On peut réécrire la propriété sous la forme :  
    si $x,y,z,t$ sont quatre entiers consécutifs sur une ligne du triangle de Pascal alors ils vérifient $(z-y)(xt+yz)=2(ty^2-xz^2)$.
    Cette égalité est inchangée si on échange $x$ et $t$ ainsi que $y$ et $z$, ce qui s'explique par la symétrie du triangle de Pascal.

    Il existe une propriété analogue pour les colonnes (seuls deux signes changent) : 
    si $x,y,z,t$ sont quatre entiers consécutifs sur une colonne du triangle de Pascal alors ils vérifient $(z+y)(xt+yz)=2(ty^2+xz^2)$.
    Cette égalité est également inchangée si on échange $x$ et $t$ ainsi que $y$ et $z$, mais je ne vois pas d'explication simple.
    Par symétrie du triangle de Pascal c'est aussi valable pour quatre entiers consécutifs sur une diagonale descendante  du triangle de Pascal.
  • Modifié (25 May)
    Merci jandri pour ces extensions.
  • Salut.
    On peut tenter pour la démonstration une méthode calculatoire avec une récurrence, sachant que les quatre entiers consécutifs d'une ligne du triangle de Pascal s'obtiennent à partir des quatre entiers de la ligne de dessus., qui eux vérifient l'hypothèse de récurrence.
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