Dans le triangle de Pascal

En fait, si $x, y, z, t$ sont quatre coefficients binomiaux consécutifs,
$$\dfrac{2xz^2+yz^2-y^2z}{2y^2+xy-xz}=t$$

J'ai trouvé comme Cidrolin et depasse. On peut réécrire la propriété sous la forme :  
si $x,y,z,t$ sont quatre entiers consécutifs sur une ligne du triangle de Pascal alors ils vérifient $(z-y)(xt+yz)=2(ty^2-xz^2)$.
Cette égalité est inchangée si on échange $x$ et $t$ ainsi que $y$ et $z$, ce qui s'explique par la symétrie du triangle de Pascal.

Il existe une propriété analogue pour les colonnes (seuls deux signes changent) : 
si $x,y,z,t$ sont quatre entiers consécutifs sur une colonne du triangle de Pascal alors ils vérifient $(z+y)(xt+yz)=2(ty^2+xz^2)$.
Cette égalité est également inchangée si on échange $x$ et $t$ ainsi que $y$ et $z$, mais je ne vois pas d'explication simple.
Par symétrie du triangle de Pascal c'est aussi valable pour quatre entiers consécutifs sur une diagonale descendante  du triangle de Pascal.

Salut.
On peut tenter pour la démonstration une méthode calculatoire avec une récurrence, sachant que les quatre entiers consécutifs d'une ligne du triangle de Pascal s'obtiennent à partir des quatre entiers de la ligne de dessus., qui eux vérifient l'hypothèse de récurrence.