Représentation induite d'un caractère d'un sous-groupe d'indice 2

Le groupe de Weil de $\R$, $\mathcal{W}(\R)$ est $\C^\times \rtimes \operatorname{Gal}(\C/\R)$ où $\operatorname{Gal}(\C/\R)=\{1,j\}$ agit sur $\C^\times$ par conjugaison complexe: $jzj^{-1}=\overline{z}$. Il contient $\C^\times$ comme sous-groupe distingué d'indice 2.

Soit $a\in \frac12 \Z$ et soit $\chi_a$ le caractère $\C^\times\to S^1$ donné par $z\mapsto (z/\overline{z})^a$.

La représentation induite $V(a)=\operatorname{Ind}_{\C^\times}^{\mathcal{W}(\R)}(\chi_a)$ est une représentation de dimension 2 de $\mathcal{W}(\R)$.

Dans cet article sur la page 26, il y a un nombre d'affirmations sur $V(a)$ que j'essaie de prouver à la main:

1. $V(a)$ est isomorphe à $V(-a)$ et $V(a)$ est autoduale;
2. Elle est symplectique si $a\in \frac12+\Z$ et orthogonale si $a\in \Z$, dans ce dernier cas son déterminant est égal au caractère "signe" de $\mathcal{W}(\R)^{\text{ab}}=\R^\times$; 
3. $V(0)$ est somme directe de la représentation triviale et le caractère "signe".

Ce que j'ai fait:

Explicitement, on a $V(a)=\{ f\colon \mathcal{W}(\R)\to \C\text{ fonctions telles que }f(hg)=\chi_a(h)f(g)\text{ pour tout }h\in \C^\times,g\in \mathcal{W}(\R) \}\cong \C^2$ avec l'action $(g\cdot f)(g')=f(g'g)$. Une telle fonction est clairement déterminée uniquement par l'image de $1$ et de $j$, car $\mathcal{W}(\R)=\C^\times\sqcup \C^\times j$.

Si l'on prend la base $f_1,f_2$ avec $f_1(1)=1,f_1(j)=0$ et $f_2(1)=0,f_2(j)=1$, on calcule aisément que $z\in \C^\times$ agit comme $\begin{pmatrix} \chi_a(z) \\ &\chi_a(z)\end{pmatrix}$ et $zj \in  \C^\times j$ agit comme $\begin{pmatrix} & \chi_a(z) \\ \chi_a(\overline{z})\end{pmatrix}$.

Comment on démontre, par exemple que la représentation est orthogonale si $a\in \Z$ ? Il faut trouver une forme bilinéaire symétrique sur $\C^2$ qui est invariante par l'action..

Toute aide est la bienvenue.