Analyse numérique, résolution système non linéaire

Si l'exercice te laisse dubitatif, tu pourrais commencer par te demander si tu reconnais la méthode lorsque $n=1$ et si tu saurais faire cet exercice dans ce cas. Si oui, le reste c'est simplement de l'adaptation et de savoir maîtriser le calcul différentiel de base.

 Je n'ai pas écrit les détails, mais en simple lecture je me demande d'ailleurs le pourquoi du découpage. Je fais me semble-t-il simultanément la fin du 1) et le début du 2).

Oui c'est bon pour la dimension 1, le calcul différentiel est une matière assez subtile et contre intuitive au début je trouve. Donc si tu n'es pas habitué  reviens aux définitions et surtout quand tu calcules une différentiel en un point demande toi quel est le type d'objet attendu à la fin du calcul.

Quand tu as des matrices il faut garder en tête que ce sont des applications linéaires dans le sens où $x \mapsto Ax$ est linéaire (et normalement tu sais que la différentielle d'une application linéaire en un point est facile à calculer.)

Ici tu as plusieurs façon de faire pour la question 1, soit tu reviens à la définition du taux d'accroissement au point qui t'intéresses (je pense que c'est la technique qui fait faire le moins de bêtise). Ou sinon tu appliques les propriétés usuelles de la différentielle avec

$dF(x)=d(Id - R \circ G)(x)$ où $R$ est l'application $R: y \mapsto A^{-1}y$ et $Id$ c'est identité (j'ai fais exprès de noter les choses de cette façon ça évite de tomber dans des pièges si tu appliques bien les définitions et propriétés.)