Est-il possible de généraliser ?

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Bonjour

J'arrive à démontrer pour certaines valeurs cette relation. À mon avis, cela doit être déjà connu.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/mi/qz0e4r8pu64q.png

Par contre je me demande s'il ne serait pas possible de généraliser, ou cette construction est possible quelles que soient les valeurs des carrés a,b,c.
Désolé si ma demande est stupide je ne suis pas très doué en géométrie.
Cordialement remy

Dom · May 2022

Bonjour
Je ne comprends pas quelle est la question.

La figure semble présenter des aires mais aussi des longueurs.
J’imagine que le tout est un carré et qu’à l’intérieur on a des rectangles et des petits carrés.

$r_3$ serait la largeur noire du rectangle médian ?

Cordialement
Dom.

gebrane · May 2022

lourrran · May 2022

On part d'un carré $a \times a$.
On isole 2 carrés $b \times b$ et $c \times c$ aux 2 coins opposés
On 'prolonge' ces 2 carrés, ce qui donne les rectangles $r_1$ et $r_2$.
Et il reste la bande centrale $r_3$.
Sur le dessin, la surface de la bande centrale semble égale à $r_1+r_2$

Est-ce un résultat généralisable ?
Evidemment non.
Partant de la situation du dessin, on suppose que sur ce dessin, on a bien l'égalité $r_3=r_1+r_2$, si on diminue $c$, $r_1$ diminue et $r_3$ augmente, on n'a plus l'égalité.

Pour $a$ et $b$ donnés, il y a a priori une seule valeur (voire aucune) de $c$ qui permet d'avoir $r_3=r_1+r_2$

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Merci pour le retour

On part d'un carré a×a.
On isole 2 carrés b×b et c×c aux 2 coins opposés

oui

Est-ce un résultat généralisable ?
Évidemment non.

Je dois pouvoir démontrer qu'il existe une valeur pour b et c quelle que soit la valeur de a

qui permet de dire que la surface de la bande centrale est égale à r1+r2

cdl remy

gerard0 · May 2022

Aumenier montre une fois de plus son incapacité à communiquer, à dire de quoi il parle. ici il n'y a aucune identité, mais il y a peut-être quelque chose dans sa tête, comment savoir ?

Se rend-il compte combien ses interventions sont ridicules ???

lourrran · May 2022

Pour $a$ fixé, il y a une infinité de valeurs $(b,c)$ qui conviennent. Mais pour $a$ et $b$ fixés, il n'y a en général qu'une valeur de $c$.
Ça pourrait faire un bel exercice pour un collégien.

Dom · May 2022

Bon, grâce à lourrran, j’ai compris la signification des lettres.

$r_1=(a-c)c$

$r_2=(a-b)b$

$r_3=a(a-b-c)$

L’égalité n’est pas vérifiée quels que soient $a$, $b$ et $c$.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

gerard0 a dit :

Aumenier montre une fois de plus son incapacité à communiquer, à dire de quoi il parle.

@Aumenier me rappelle un certain prof de physique-mathématique, c'était difficile de comprendre ce qu'il essayait de communiquer.
Et à côté, t'as toujours une ou deux personnes qui semblent comprendre parfaitement et font comme si de rien était 😅
Mais bon, je dis cela sans méchanceté @Aumenier

gerard0 · May 2022

Oui,

il y a une certaine tendance à inventer des significations aux messages peu cohérents, aux énoncés d'exercices mal ou incomplètement copiés, etc. Parfois, on ne sait jamais de quoi parlait le posteur initial !

Cordialement.

Dom · May 2022

Les solutions sont les nombres positifs $a$, $b$ et $c$ tels que le triangle dont les côtés sont $a$, $a-b$ et $a-c$ soit rectangle.

Blueberry · May 2022

Ou bien ça peut être formulé:

$a,b,c$ positifs avec $b+c \leqslant a$ vérifiant $(a-c)^2+(a-b)^2=a^2$.

Il y en a ... Par exemple $a=5,b=2,c=1$.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

donc maintenant que c'est plus simple. Est-ce que je peux dire $\forall a \in \mathbb{N},\ \exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que

$r1=(a-c)c$

$r2=(a-b)b$

$r1+r2=r3=(a-b-c)a$

À titre personnel, j'ai un doute sur le quelque soit a

cdl remy.

lourrran · May 2022

Traduire du charabia en un discours clair, c'est quelque chose que je dois faire de temps en temps dans mon job. Ici, c'était facile.

Blueberry · May 2022

Tu es informaticien ?

[Utilisateur supprimé] · May 2022

@Aumeunier, utilise des connecteurs logiques.

gerard0 · May 2022

Pour tout a, en prenant b=a et c=0, l'égalité est vérifiée

gerard0 · May 2022

Et aussi avec b=a et c=2a (mais les $r_i$ sont négatifs).

lourrran · May 2022

Pas informaticien, plutôt touche-à-tout.

lourrran · May 2022

Tu viens de modifier totalement les données du problème, tu parles de $a, b$ et $c$ qui doivent être dans $\mathbb{N}$

J'aurais dû deviner, vu tes messages habituels autour de l'arithmétique.

Tout ce que les gens t'ont raconté (moi en particulier), c'était pour $a b$ et $c$ des réels positifs. Pas forcément entiers.
La contrainte $a,b,c$ entiers fait qu'il y a beaucoup beaucoup moins de solutions.

gerard0 · May 2022

Tout ça n'a rien à voir avec le forum géométrie.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

En toute honnêteté , je pensais sincèrement que cette relation était connue.
Bon bref, donc à partir de cette figure géométrique.

Est-ce que je peux dire $\forall a \in \mathbb{N},\ \exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que

$r1=(a-c)c$

$r2=(a-b)b$

$r1+r2=r3=(a-b-c)a$

À titre personnel, j'ai un doute sur le quelque soit a,par contre je suis en mesure de le démontrer pour $\exists a \in \mathbb{N},\mid ... $

cdl remy

PS:l'on n'a pas le droit d'utiliser \mid $\mid$ pour tels que ?

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Aumeunier a dit :

Est-ce que je peux dire $\forall a \in \mathbb{N},\ \exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que
$r1=(a-c)c$
$r2=(a-b)b$
$r1+r2=r3=(a-b-c)a$

Traduction.
$\forall a (a\in \mathbb N \implies \exists b \exists c ( b\in \mathbb N \wedge c\in \mathbb N \wedge (a-c)c+(a-b)b=(a-b-c)a))$

C'est ça que tu aurais dû écrire. La prochaine fois, écris quelque chose qui ressemble à ça.

Dom · May 2022

Pourquoi cette relation serait connue puisqu’elle est fausse ?
Elle conduit à un théorème, éventuellement, mais ça ne peut pas être une « relation connue ».

lourrran · May 2022

Partant d'un nombre $a$, tu peux toujours trouver $b$ et $c$ qui conviennent. Il suffit de prendre $b=a$ et $c=0$. Ou encore $b=0$ et $c=a$.
Mais évidemment, ces 2 solutions triviales n'ont aucun intérêt. Et donc, on imagine que tu cherches $b$ et $c$ tous 2 non nuls.
Mais dans ce cas, pour des nombres comme $a=1$ ou $a=2$, on voit très vite qu'il n'y a pas de solution.

Soit tu imposes $b$ et $c$ non nuls, et c'est évident que pour certaines valeurs de $a$, il n'y a pas de solution.
Soit tu acceptes les solutions triviales, et c'est évident qu'il y a au moins une solution pour toute valeur de $a$.

Dans les 2 cas, l'exercice est évident. La seul difficulté, c'est d'imaginer ce que tu cherches.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

@Igbinoba pourquoi faut-il toujours compliquer les choses en mathématiques et oui je connais algèbre de Grassmann.

@lourran merci j'ai repris ma démo pour que cette relation soit vraie ou pour que b et c existent il faut que $a^2=x^2+y^2$

avec bien sûr comme dab un (sauf erreur).

cdl remy

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Aumeunier a dit :

@Igbinoba pourquoi faut-il toujours compliquer les choses en mathématiques et oui je connais algèbre de Grassmann

Ce que j'ai écrit n'est en rien compliqué, c'est le stricte minimum. Tu n'as qu'à présenter ce que tu as écrit et la traduction que j'ai donnée à n'importe qui ayant fait des études de mathématiques, ils te diront laquelle des versions est plus "facile" à comprendre. Aussi, je ne vois pas pourquoi tu parles de "l'algèbre de Grassmann". Mais bon, j'ai traduit dans le but de t'aider et non pour autre chose.
Cordialement.

lourrran · May 2022

j'ai repris ma démo pour que cette relation soit vraie

??
Désolé, jusque là, j'arrivais à suivre ton charabia et à le transformer en un discours à peu près compréhensible, mais là, je ne sais plus faire la part des choses entre les erreurs d'expression, les erreurs de maths, et les erreurs inclassables.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

chaque fois que $a^2=x^2+y^2$ alors tu pourras dire $\exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que

$r1=(a-c)c$

$r2=(a-b)b$

$r1+r2=r3=(a-b-c)a$.

lourrran · May 2022

Chaque fois qu'on peut trouver $x$ et $y$ entiers non-nuls, tels que $a^2=x^2+y^2$, alors on peut trouver $b$ et $c$ entiers non nuls, tels que ... ...

J'ajoute 'non-nuls', parce que c'est essentiel.

Admettons. Tu affirmes ce résultat. Il est peut-être vrai, peut-être faux, je ne sais pas. Je me cantonne à faire l'interprète.
Ce résultat, tu as démontré qu'il est vrai (tu ne sais probablement pas ce que ça veut dire, démontrer) ?
ou tu supposes que c'est vrai ?
ou tu as testé 5 ou 6 valeurs, et tu as constaté que c'était vrai pour quelques valeurs ?

[Utilisateur supprimé] · May 2022

je suis même en mesure de dire des truc bizarre comme par exemple

si $n$ est impair alors $(a^n-b^n-c^n)\mod(a)=0$,

avec comme dab un (sauf erreur).

Bon entre nous cela m'éloigne un peut trop de mon pdf

remy.

gerard0 · May 2022

L'art de compliquer les choses : ce message.

On ne sait pas qui sont $a,x$ et $y$ (dans le forum géométrie, ce sont à priori des réels, probablement positifs). Et $r_1$ et $r_2$ ne servent à rien. mais l'incompétent Aumenier les a utilisés dans sa réflexion et tient quand même à les utiliser.

fm_31 · May 2022

Bonjour ,
"mais l'incompétent Aumenier" . Ce n'est pas très agréable , un peu méprisant .
Cordialement

gerard0 · May 2022

Ah non, pas du mépris, ce n'est qu'une constatation, basée sur ce qu'il a publié sur le forum.

Et je n'ai pas l'habitude de brosser les gens dans le sens du poil, je ne suis pas toujours "agréable".

Pour l'incompétence, voir ce qu'il a fait de mes réponses sur sa question, une fois éclaircie (par d'autres). Rien : les maths ne l'intéressent pas.

Cordialement.

pldx1 · May 2022

Allez jouer ailleurs. Ce forum s'intéresse à la géométrie,
pas aux élucubrations élucubrantes, ni aux prétentions décodantes.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Je ne vous donnerais pas la démonstration pour que

chaque fois que $a^2=x^2+y^2$avec $a,x,y \in \mathbb{N} $ alors $\exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que

$r1=(a−c)c$

$r2=(a−b)b$

$r1+r2=r3=(a−b−c)a$ dans

Par contre je vous écoute ,si si

Zgrb · May 2022

Soit a un naturel
Pour tout triplet pythagoricien (x,y,a) (même avec x ou y nul)
Le couple (b,c) avec b=a-x et c=a-y convient
allez ciao !

[Utilisateur supprimé] · May 2022

@Zgrb un peu court sans explication mais cela me va.

Zgrb · May 2022

Venant d'un type qui dit qu'il ne donnera pas sa démo...
Je ne vais pas t'offrir la mienne

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Ok ok, pour commencer nous serons d’accord pour dire que l’hypoténuse est plus grande que le côté d’un carré donc rsa et tranquille.
Je sais mais à chacun ses obsessions, ensuite.
Si les 2 petits carrés se touchent $r3=0$ et s’ils sont tout petits $r3 \to a^2$
Donc il existe une solution entière ou pas, peu importe mais il existe une solution.
Donc je peux dire que tous les carrés sont une somme de 2 carrés et comme toutes les surfaces entières ou pas, peuvent être représentés sous forme de carré, je peu les décomposer en somme de 2 carrés, je ne sais pas vraiment ce que cela implique (mais cela me plaît bien).
Un avis argumenté peut-être ?

cdl remy