Somme de mesures
Bonjour
Soient $\mu_1$, $\mu_2$ deux mesures à valeurs dans $\mathbb{R}^+$, soit $f \in L^1(\mu) \cap L^1(\nu)$, soit $\lambda \in \mathbb{R}$ alors $\lambda \mu_1 + \mu_2$ est une mesure.
Est-ce qu'on a $\int f d(\lambda\mu_1+ \mu_2) =\lambda \int f d\mu_1 + \int f d\mu_2$ ?
Je me pose la question car je voudrais avoir une formule du type
si $(\mathbb{P}_i)$ une famille finie de mesures de proba et $(\alpha_i)$ tel que $ \sum \alpha_i = 1$ et $\alpha_i \geq 0$,
alors $\mathbb{E}^{\sum \alpha_i \mathbb{P}_i}[X]= \sum \alpha_i \mathbb{E}^{{P}_i}[X]$.
Merci.
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Réponses
Oui, c'est exact. Supposons $\lambda \geqslant 0$ (qui est le cas qui t'intéresse). Ton égalité d'intégrales est d'abord vraie quand $f$ est une indicatrice par définition d'une combinaison linéaire de mesures. Puis elle est vraie pour toute fonction étagée par combinaison linéaire. Puis elle est vraie pour toute fonction positive par convergence monotone. Puis elle est vraie pour tout fonction $f$ intégrable par rapport à $\mu$ et $\nu$, car elle est vraie pour $\max(0,f)$ et $\min(0,f)$.
Si $\lambda<0$, alors $\mu:=\lambda\mu_1+\mu_2$ est une mesure signée, mais $\mu_1$ et $\mu_2$ ne doivent pas être n'importe comment pour que $\mu$ soit bien définie (s'il existe $A$ tel que $\mu_1(A)=\mu_2(A)=+\infty$, ça va poser problème). Mais si les choses sont correctement définies, ton égalité d'intégrales reste vraie.