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Optimisation de l'aire, exemples

Modifié (2 May) dans Analyse
Bonjour aux amis matheux
Vous connaissez tous (et toutes) le résultat "de tous les rectangles de même périmètre c'est le carré qui optimise l'aire" ; je recherche quelques exemples d'applications de ce résultat pas trop simples, mais pas trop techniques non plus. En fouillant dans mes archives, j'ai trouvé la détermination du sup de xy en valeur absolue sous la contrainte x+y =<2.

Auriez-vous d'autres exemples d'applications à me fournir ?
Merci.
Bonne journée.

Réponses

  • DomDom
    Modifié (2 May)
    Ce n’est pas autre chose mais disons un maquillage. 
    On a un terrain triangulaire. On souhaite bâtir un immeuble rectangle. Il faudrait la meilleure surface au sol. 
    L’étude revient à maximiser l’aire d’un rectangle de périmètre constant si j’ai bonne mémoire. 
    Aussi, on peut regarder plusieurs cas, selon que place le rectangle plutôt que un code du triangle ou bien un autre…
  • Ce n'est rien d'autre que l'inégalité arithmético-géométrique pour 2 valeurs réelles positives.
    On peut en déduire celle pour 4 valeurs positives (et même $2^n$ pour tout entier $n$) puis celle pour $3$ (ou pour tout entier).
  • Modifié (2 May)
    @Dom. Je vais regarder l'exemple
    @bisam. C'est-à-dire que c'est lié à $\sqrt{ab} \leq (a+b) /2$ ? Si pas d'erreur de mon côté pour 2 réels $a$ et $b$ positifs bien sûr... Le lien n'est pas évident pour moi. Je vais creuser.
    Merci
    Mon latex ne marche plus je suis rouillé.
    [C'est réparé, il y avait un '_' de trop. :) AD]
  • Modifié (2 May)
    Trouver la boîte cylindrique de volume donné qui a la plus petite aire (l'aire latérale plus les deux bases circulaires).
  • Ha ! Chaurien, n’est-ce pas un problème de degré 3 ?
    Sauf si je confonds…
  • Je n'ai pas vu dans la demande qu'un problème de degré 3 soit interdit.
  • Modifié (2 May)
    L'aire du rectangle de côtés $x$ et $y$ est $xy$ et celle du carré de même périmètre est $\big(\frac{x+y}{2}\big)^2$, avec égalité si et seulement si $x=y$ car la différence des deux vaut $\big(\frac{x-y}{2}\big)^2$,
  • DomDom
    Modifié (2 May)
    Oui pardon, ce n’était pas une critique. La tournure de mon message peut le laisser penser. 
    Un problème très connu est l’inégalité isopérimétrique, mais c’est difficile. 
  • Modifié (2 May)
    La demande ne précise pas si l'on a droit aux dérivées. Mais avec la remarque de Bisam, on peut prouver sans dérivée que si le produit de trois nombres réels positifs est donné, alors leur somme est minimum quand ils sont égaux. Ceci permet de résoudre le problème que j'ai posé.
  • Modifié (2 May)
    Un problème du Journal de Mathématiques Élémentaires, 1905.
    Vous noterez que le problème est posé par Charles Bioche (1859-1949), célèbre par les règles pour le changement de variable dans les intégrales trigonométriques.
  • @bisam. C'est de la petite mathématique pour vous, je m'en doute bien: mais j'essaie de comprendre le lien avec l'inégalité arithmetico-géométrique)
    L'aire du rectangle est x*y, et son périmètre est P=2*(x+y) : soit P' le périmètre du carré de côté x', P'=4*x'
    Égalité des périmètres P et P' se traduit par 4*x'=2*(x+y), soit x'=(x+y) /2 avec l'aire A' maximale du carré concerné valant (x+y) ^4 /4. A partir de là, je vois pas comment tomber sur une inégalité avec une racine 😕

    @Chaurien. Je visualise très bien un cône. Mais je comprends pas le début de l'énoncé "enrouler un secteur circulaire de façon à en former la surface latérale d'un cône ? 
  • Avec un secteur circulaire, on fabrique un cône, comme dans cette vidéo :
    Dans ce problème, on divise le disque en deux secteurs, un saillant et un rentrant, et avec chacun de ces secteurs, on  fabrique un cône. Et on veut que la somme des volumes des deux cônes soit maximum.

  • Très bien cette vidéo ! 
  • Modifié (2 May)
    Il y a aussi le problème du fond des alvéoles des abeilles, formé de trois losanges isométriques, comme sur la figure. Trouver l'angle de ces losanges pour que l'aire soit minimum.
  • Modifié (2 May)
    Et la loi de la réfraction est aussi la solution d'un problème de minimum de temps du trajet de la lumière (la réflexion aussi, mais là c'est trivial).
  • Modifié (2 May)
    Soit $x$ et $y$ deux nombres réels positifs. Alors \[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2-xy=\left(\frac{x-y}{2}\right)^2\geq 0\]
    Par conséquent, l'aire du rectangle de côtés $x$ et $y$, qui vaut $xy$ est plus petite que celle du carré ayant le même périmètre, donc ayant pour côté $c=\frac{x+y}{2}$, puisque cette dernière vaut $c^2=\big(\frac{x+y}{2}\big)^2$.
    En prenant la racine carrée (qui est une fonction croissante sur l'ensemble des réels positifs), on obtient bien :
    \[\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\] ce qui constitue l'inégalité arithmético-géométrique.
    Si on l'applique deux fois, on peut démontrer que pour 4 réels positifs, $a,b,c,d$ :
    \[\left(abcd\right)^{1/4}=\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\leq \frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}=\frac{a+b+c+d}{4}\]
    En appliquant ce dernier résultat dans le cas particulier où $d=\frac{a+b+c}{3}$, on obtient après simplification que :
    \[(abc)^{1/3}\leq \frac{a+b+c}{3}\]
    Je n'ai pas décrit tout cela succinctement plus haut non pas parce que ce sont des "petites mathématiques" mais parce que ce sont des résultats bien connus... et que j'ai supposé (à tort, apparemment) que tu les connaissais.
  • Dans le genre élémentaire et pourtant un peu subtil, il y a le champ le long d'une rivière : on délimite un champ rectangulaire le long d'une rivière avec une clôture de 100 m de long. On ne met pas de clôture le long de la rivière. Quelles sont les dimensions du champ d'aire maximale ?
  • @bisam. J'ai dû connaître, mais j'ai oublié faute d'avoir pratiqué durant de nombreuses années, j'ose pas dire plus de 2 décennies 😂 En tout cas, merci pour la réponse détaillée (que j'étudierai demain). Je me remets tout doucement aux maths pour le plaisir uniquement. 
  • DomDom
    Modifié (2 May)
    Deux problèmes amusants.
    1)
    J’ai une feuille rectangulaire, j’en fais un cylindre en mettant bord à bord les longueurs, ou bien en mettant bord à bord les largeurs.
    Le volume est-il le même. 
    2)
    J’ai une équerre. 
    Je peux engendrer un cône avec un côté de l’angle droit (on le fait tourner), ou bien avec l’autre côté de l’angle droit, ou bien même avec l’hypoténuse.
    Quel est le cône de plus grand volume. 
    Édit : avec l’hypoténuse c’est un double cône…
  • Modifié (3 May)
    Je reviens sur le problème que j'ai posé : trouver la boîte cylindrique de volume donné $V$ qui a la plus petite aire (l'aire latérale plus les deux bases circulaires).
     Soit $R$ le rayon et $h$ la hauteur, alors le volume est $V=\pi R^2h$ et l'aire totale est : $S=2\pi R^2+2\pi Rh$, soit :  $S=2 \pi R^2+ 2\frac VR$.
    On peut considérer $S$ comme fonction de $R$ et dériver, ce n'est pas très difficile.
    Mais si l'on veut éviter les dérivées, on peut écrire :  $S=2 \pi R^2+ \frac VR+\frac VR$. C'est la somme de trois termes dont le produit est : $2 \pi R^2 \cdot \frac VR \cdot \frac VR=2 \pi V^2$, constant. D'après les explications données par Bisam, cette somme sera minimum si les trois termes sont égaux, soit :  $2 \pi R^2= \frac VR$, d'où :  $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$.
    Il y a un livre qui rassemble toutes sortes de problèmes d'extrémums traités sans calcul différentiel : Ivan Niven, Maxima and Minima Without Calculus, The MAA, 1981.
  • Modifié (3 May)
    Je reviens sur le problème du fond des alvéoles des abeilles, que j'ai insuffisamment expliqué. Voici une figure extraite d'une brochure de l'IREM Paris-Nord de 1974  intitulée « Maxi-mini », recueil de problèmes d'extrémums, hélas sans solutions (je n'avais pas trop le temps à l'époque).
    Soit un prisme droit dont les bases sont des hexagones réguliers dans les plans $P_1$ et $P_2$. Avec un sommet sur deux, on forme le triangle équilatéral $A_1B_1C_1$ dans le plan  $P_1$ et le triangle équilatéral $A_2B_2C_2$ dans le plan  $P_2$. Par un point $S$ de l'axe du prisme, situé au-dessus du plan $P_2$, on fait passer les plans  $SA_2B_2C'$,  $SB_2C_2A'$, $SC_2A_2B'$ (comme si l'on taillait un crayon). On obtient ainsi un polyèdre avec trois faces supérieures qui sont des losanges et six faces latérales qui sont des trapèzes rectangles.
    Il n'est pas très difficile de voir que, lorsque le point $S$ varie sur l'axe, le volume de ce polyèdre est constant, toujours égal au volume du prisme. Mais l'aire de ce polyèdre (les six faces latérales plus les trois losanges) varie avec la position du point $S$ sur l'axe. Le problème est de déterminer la position du point $S$ sur l'axe pour que cette aire soit minimum, et, dans ce cas, l'angle des losanges qui constituent les faces supérieures. Cette aire est la quantité de cire nécessaire pour construire l'alvéole, et l'on dit que les abeilles ont résolu ce problème de minimum.

  • Bonjour, 
    @bisam. Dans le cas de l'inégalité arithmetico geo pour 3 et 4 réels positifs, c'est possible de donner une interprétation géométrique semblable à celle de l'aire et périmètre ?
    Merci 
    Je vais étudier les autres interventions également. 
  • Pour 3, c'est faisable : le cube est le pavé droit qui maximise le volume lorsque la somme des 3 dimensions est fixée.
    Pour 4, je ne vois pas.
  • L'hypercube  ;) ?
  • Certes, mais c'est moins visuel :/
  • Modifié (7 May)
    Triangles associés.  Pour tout triangle $ABC$ non aplati, on désigne par  $A'$ (resp. $B',C'$) le symétrique de $A$ (resp. $B,C$) par rapport à la droite $BC$ (resp. $CA,AB$). Soit  $S$ (resp. $S'$) l'aire du triangle  $ABC$ (resp. $A'B'C'$). Quel est l'ensemble des valeurs que peut prendre le quotient $\frac { S'}S$ ?
  • Modifié (8 May)
    Précisions sur le problème de mon message précédent.
    Pour les triangles rectangles on a : $\frac { S'}S=3$, et réciproquement.
     Les valeurs de $\frac { S'}S$ pour les triangles strictement acutangles décrivent l'intervalle $]3,4]$.
    Les valeurs de $\frac { S'}S$ pour les triangles quelconques décrivent l'intervalle $[0,5[$.
     Étonnant, non ?
  • Et les triangles scalènes ? 😁
  • Bonne question, Gai Requin. Comme je ne prise guère ces triangles, je n'ai pas cherché. Je te laisse le plaisir de trouver.
    Par ailleurs, j'ignore l'origine de ce problème.
  • Modifié (8 May)
    @Chaurien. Je reprendrai un peu le fil cette semaine. Je n'ai pas pris de stylo et de feuille, mais pour les rapports des aires avec les triangles, j'aurais parié sur une histoire de rapport d'homothéties ? Non ?) 
  • Moi je n'ai pas utilisé d'homothétie, mais qui sait ?
    J'ai fait intervenir des aires orientées.
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