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Petit problème d'algèbre linéaire

najibifaridnajibifarid
Modifié (May 2022) dans Algèbre
Bonjour
Je fais appel à votre générosité car je suis bloqué sur ce problème.
les calculs sont simples. 
donc j'ai trouvé 

Après pour la deuxième question c'est simple .
pour la troisième j'ai fait u(x)=0 j'ai trouvé 3 équations 
|8x+2y-2z=0(a)
|2x+5y+4z=0(b)
|-2x+4y+5z=0(c)
b+c me donne y+z=0
et 2a+b me donne 9x+y=0
Je ne sais plus laquelle des deux prendre pour trouver e1, u=(0,1,1) ou u =(9,0,0).
Après pour la question d'après bah ils demandent une équation cartésienne après faut montrer que Im(u) est orthogonale à ker (u) donc on fait le produit scalaire mais du coup faut trouver une base orthonormé de im(u) ? 
Aidez-moi s'il vous plaît.


Réponses

  • najibifaridnajibifarid
    aidez moi s'il vous plait !!
  • BlueberryBlueberry
    Modifié (May 2022)
    Bonjour,
    $2a+b$ donne $2x+y=0$ il me semble.
    Donc tu obtiens le système équivalent $\begin{cases} 8x+2y-2z=0\\2x+y=0\\y+z=0 \end{cases} \iff \begin{cases} y=-2x\\z=2x \end{cases}$
    D'où un générateur de ton noyau de dimension 1:$\begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}$
  • najibifaridnajibifarid
    Modifié (May 2022)
    Blueberry
    merci beaucoup pour votre aide j'ai refait les calculs et j'ai trouvé pareil, mais ce qui m'a surpris c'est que on me demande de montrer que c'est un groupe alors que U n'est pas inversible ???
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • BlueberryBlueberry
    Alors là je ne vais pas trop m'avancer mais comme il n'est pas dit sous-groupe, {$A, B, C$ et $U$} muni du produit matriciel peut-être un groupe si
    $UA=AU=A$,    $UB=BU=B$    et     $CU=UC=C$ donc avec $U$ comme élément unité,
    à condition que chaque matrice ait son inverse (au sens où $\forall X \in \{A, B, C, U \}$ il existe $Y \in \{A, B, C, U \}$ tel que $XY=U$.)

  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Modifié (May 2022)
    Bonjour
    La matrice antisymétrique $A$ est la matrice du produit vectoriel par le vecteur $\vec v = \begin{pmatrix}1/3\\-2/3\\2/3\end{pmatrix}$ qui est un vecteur unitaire. Autrement dit, son noyau est la droite vectorielle $\mathrm{Vec}(\vec v)$ et sa restriction à $\mathrm{Vec}(\vec v)^\perp$ coorienté par $\vec v$ est la rotation d'un quart de tour dans le sens direct.
  • najibifaridnajibifarid
    Modifié (May 2022)
    Merci pour vos réponses. 
    Je suis toujours bloqué sur la question 3)b je dais que les deux colonnes de ma matrice sont une base mais du coup comment trouver une équation cartésienne ?
    Et pour la 3)c faut trouver la nature de la matrice U ou de l’application ? Je ne comprends pas.
    Merci de me donner un coup de main s’il vous plaît 🙏🏻 
  • usineusine
    Modifié (May 2022)
    A,B,C,U avec le produit matriciel forme bien un groupe (abélien)
    C'est un groupe cyclique 
    U l'élément neutre
    Il ne faut pas se demander si une des matrices est inversible ou pas :
    On s'en fiche complètement mais bien vérifier ce qui est précédemment écrit.
  • najibifaridnajibifarid
    Modifié (May 2022)
    Aah ok je n’avais pas capté, merci pour votre aide. 
    Mais du coup je suis toujours à la question 3)b je n’arrive pas à trouver l’équation cartésienne demandée.
  • gebranegebrane
    Ton équation cartésienne est :  x,y et z sont dans l'image ssi x-2y+2z=0
    Le 😄 Farceur


  • najibifaridnajibifarid
    merci pour votre réponse @gebrane .
    mais pouvez expliquer comment vous avez fait ?  
  • JLapinJLapin
    Tu peux résoudre le système $UX=Y$ et chercher l'équation de compatibilité.
  • najibifaridnajibifarid
    Modifié (May 2022)
    @JLapin Est-ce que on peut dire que u (1,-2,2) est normale à im(u) donc l’équation cartésienne égale à x-2y+2z=0 ??
  • JLapinJLapin
    Oui, si tu sais que $Im u$ est un plan.
  • najibifaridnajibifarid
    On peut pas utiliser le théorème de rang ? 
  • najibifaridnajibifarid
    s'il vous plait pour la nature de U , on U^2=U=Id puisque U est l'élément neutre de groupe mais du coup c'est une symétrie ou une projection ? 
  • JLapinJLapin
    Si
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