Endomorphisme nilpotent
Bonjour
C'est issu d'un oral CCPINP 2021. Je continue dans ce niveau pour consolider mes connaissances.
Je bloque sur la dernière question.
1) Comme $u$ est nilpotent $\chi_u(X)=X^n$ et d'après Cayley-Hamilton on a $u^n=0$.
2.a) Puisque $u^{n-1}$ est non nul il existe $x \in E$ tel que $u^{n-1} (x) \ne 0_E$.
Montrons que la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre.
Soient $(\lambda_0, \cdots, \lambda_{n-1}) \in K^n$ tel que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^k (x)=0$
En appliquant $u^{n-1}$ aux deux membres de l'égalité, on a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^{n-1+k} (x)=0$ on en déduit $\lambda_0 u^{n-1} (x)=0$ donc $\lambda_0=0$ car $u^{n-1} (x) \ne 0_E$.
Donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k u^k (x)=0$ et on applique $u^{n-2}$ ce qui permet de montrer que $\lambda_1=0$.
En répétant le raisonnement, on montre que $\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots= \lambda_{n-1}=0$.
C'est une famille à $n$ éléments donc c'est une base de $E$ et il est évident que $Mat_B (u)=A$.
C'est issu d'un oral CCPINP 2021. Je continue dans ce niveau pour consolider mes connaissances.
Je bloque sur la dernière question.
1) Comme $u$ est nilpotent $\chi_u(X)=X^n$ et d'après Cayley-Hamilton on a $u^n=0$.
2.a) Puisque $u^{n-1}$ est non nul il existe $x \in E$ tel que $u^{n-1} (x) \ne 0_E$.
Montrons que la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre.
Soient $(\lambda_0, \cdots, \lambda_{n-1}) \in K^n$ tel que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^k (x)=0$
En appliquant $u^{n-1}$ aux deux membres de l'égalité, on a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k u^{n-1+k} (x)=0$ on en déduit $\lambda_0 u^{n-1} (x)=0$ donc $\lambda_0=0$ car $u^{n-1} (x) \ne 0_E$.
Donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k u^k (x)=0$ et on applique $u^{n-2}$ ce qui permet de montrer que $\lambda_1=0$.
En répétant le raisonnement, on montre que $\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots= \lambda_{n-1}=0$.
C'est une famille à $n$ éléments donc c'est une base de $E$ et il est évident que $Mat_B (u)=A$.
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Réponses
@Heuristique c'est dans le cours de MP sur la réduction des endomorphismes. Faut-il redémontrer le cours ?
Je n'ai pas l'impression que ça ait une utilité de détailler le "en répétant" la méthode est claire... Pourquoi s'embourber dans une récurrence quand on peut faire simple ?
@raoul.S d'accord merci.
@GaBuZoMeu je sais que $rg(A)= n$ donc $rg(X^2)=n$ je ne vois pas comment en déduire le rang de $X$.
@Gache comme $A$ est nilpotente alors $X^2$ mais je ne vois pas quoi faire de cette information.
Une solution un poil plus simple à mon avis : $X$ est nilpotente donc $X^n=0$ (en appliquant 1.) Mais dans ce cas si $n$ est pair on aurait $0=X^n=(X^2)^{n/2}=A^{n/2}$ impossible car $A^{n-1}\neq 0$. Si $n$ est impair alors $0=X^{n+1}=(X^2)^{(n+1)/2}=A^{(n+1)/2}$ ce qui implique $(n+1)/2\geq n$ (toujours car $A^{n-1}\neq 0$) et donc $n\leq 1$ et donc $n=1$. Dans ce cas $A=0$ comme indiqué par Blueberry ci-dessus.
Donc en réfléchissant un peu je pense que OShine aurait pu au moins trouver cette dernière solution...
Pour $n=2$ on a $A=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$ donc $rg(A)=1=2-1$.
@raou@"raoul.S" @gai-@gai requin
Oui si $n=1$ alors $A=(0)$.
Si $n=0$ je ne vois pas comment faire, $A$ n'existe pas...
Comment montrer que $u^n=0$ différemment ?
En plus, il y a une suite dans l'exercice. On ne dit pas : soit $A$ la matrice bla bla bla , résoudre $X^2=A$.
On t'amène à cette matrice, on sait qu'elle est de rang $n$ ... et toutes les pièces du puzzle servent.
C'est quand même dommage de recopier des maths 12 heures par jour pendant toutes ces années, et de ne toujours pas avoir les réflexes qu'on attend d'un lycéen.
D'ailleurs, on peut faire 2)b) sans utiliser 2)a) (réduite de Jordan sans le dire).
Si demain, OShine voulait refaire un exercice qu'il a fait il y a 2 semaines, il reposerait les mêmes questions, il bloquerait aux mêmes endroits, il redirait 'Je ne comprends pas'.
Il ne retient strictement rien de ce qui se trame ici.
Et c'est normal.
J'ai lu récemment un bouquin 'technique'. J'avais mal évalué le niveau, j'ai lu un bouquin un peu trop compliqué pour moi. Je l'ai lu il y a 2 ou 3 semaines, et je crois que je n'ai à peu près rien retenu. Là je viens de commander un bouquin de niveau plus bas, normalement. Et je vais le lire. Ensuite, je pourrais relire le 1er bouquin.
Tant que OShine refusera de bouffer plein d'exercices de lycée, il n'apprendra rien.
Généralement les résultats de cours ne sont pas à redémontrer.
Oui j'aurais pu faire une récurrence ou par l'absurde, je vois l'idée pour le raisonnement par l'absurde je sais faire de tête.
@lourrran la réduction de Jordan était un niveau trop élevé pour moi, je suis revenu à des exercices de base.
Montrons que $u^n=0$. Soit $p$ l'indice de nilpotence de $u$. La famille $(x,u(x), \cdots, u^{p-1}(x))$ est libre contient $p$ éléments. Or le cardinal d'une famille libre est inférieur à la dimension de l'espace $E$ donc $p \leq n$. Comme $u^p=0$ alors $u^n = 0$.
Pour $n=0$ on fait comment ?
par convention: u^0 = Identité et puisque E est réduit au vecteur nul et identité de (0)=0. Alors aucun blême du genre 0^0
Tu te trompes! Il y a bien une base. L'espace nul comporte une unique base, qui ne contient aucun vecteur : c'est la famille indexée par l'ensemble vide voir wiki
C'est un oral et non pas une épreuve écrite. Un membre de jury peut insister sur le cas n=0 uniquement pour la première question pour savoir si le le candidat connaît bien les conventions.
$x$ est un vecteur de $E$ tel que $u^{p-1} (x) \ne 0$.
Si $n=0$ alors $E=\{0 \}$ et $u=u^2=0$. Mais $A$ n'existe pas et $u^{n-1}$ n'est pas défini donc l'exercice n'a pas d'intérêt.
Par l'absurde, si la famille $(x,u(x), \cdots, u^{p-1} (x))$ est liée alors il existe $(\lambda_0, \cdots, \lambda_{p-1})$ des scalaires non tous nuls tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} \lambda_k u^k (x)=0$.
Je ne vois pas trop en quoi la preuve par l'absurde est plus rapide que l'autre preuve...
Je pose $j$ le plus petit entier dans $[|0,p-1|]$ tel que $\lambda_j$ est non nul.
En appliquant $u^{p-j-1}$ aux deux membres de l'égalité on obtient $\lambda_j u^{p-1}(x) =0$ et comme $u^{p-1} (x) \ne 0$ alors $\lambda_j =0$ ce qui est absurde.
Supposons par l'absurde que cette famille ne soit pas libre. Il existe des scalaires $\lambda_0, \cdots, \lambda_{n-1}$ non tous nuls tels que : $\lambda_0 x+ \lambda_1 u(x) + \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1} (x)=0$
Posons $j = \min \{ k \in [|0,n-1 |] \ | \ \lambda_k \ne 0 \}$.
Alors $\lambda_j u^j (x)+ \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1} (x)=0$
- Si $j =n-1$ alors $\lambda_{n-1} u^{n-1} (x)=0$ donc $\lambda_{n-1}=0$ et $\forall k \in [|0,n-1 |] \ \lambda_k =0$ ce qui est absurde.
- Sinon $j < n-1$ alors $u^{n-j-1}(\lambda_j u^j (x)+ \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1} (x) )=0$
Donc $\lambda_j u^{n-1} (x) + 0 + \cdots + 0=0$ car $u^n(x)=0$ .Finalement $\lambda_j =0$ ce qui est absurde.
Gebrane d'après la question 2.a l'indice de nilpotence est supposé égal à la dimension de l'espace.
C'est une hypothèse de l'exercice.
Je sais très bien que l'indice de nilpotence peur être strictement inférieur à n.