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Homographies et applications

nyadisnyadis
Modifié (May 2022) dans Algèbre
Bonjour c'est encore moi et les homographies ! 
Actuellement j'étudie les homographies et la classification des sous-groupes finis du groupe des homographies ! Je vais bientôt faire une présentation sur ce sujet et j'aimerais captiver l'audience en donnant une application des homographies dans la vie réelle de loin où de près et mieux encore une application de la classification des sous-groupes finis du [groupe] des homographies si possible !
Merci beaucoup pour vos futures réactions !

Réponses

  • CalliCalli
    Salut,
    Ça m'étonnerait que ça puisse t'être utile parce que c'est de l'analyse pas élémentaire (et puis je ne rentrerai pas dans les détails), mais juste pour l'anecdote :
    Cette semaine j'ai eu besoin du fait que l'image par une homographie d'une droite de $\Bbb C$ est (sous certaines conditions) un cercle (dont on connait le centre et le rayon) pour montrer qu'une certaine équation aux dérivées partielles possédait une unique solution  :) . C'est une équation des ondes dans $\Bbb R\times\Bbb R_+$ avec une condition sur le bord $\Bbb R\times\{0\}$ du style $\partial_y u=\frac{a\partial_x^2 +b}{c\partial_x^2 +d} u$ ($u$ désigne la solution et $\partial_x, \partial_y$ sont les opérateurs de dérivées partielles) qui simule l'existence d'une couche mince sur $\Bbb R\times[-\varepsilon,0]$ avec certaines propriétés, mais sans implémenter la couche pour de vrai (c'est utile pour faire des simulations informatiques). L'homographie du coup c'est $f:z\mapsto \frac{az +b}{cz+d}$ et elle apparaît quand on applique la transformée de Fourier. Suivant quelle était l'image exacte de $f$, l'EDP pouvait ou non avoir une solution unique.
    Tout ça pour dire que ça peut aussi servir dans des contextes éloignés.  :)
  • gai requingai requin
    Modifié (May 2022)
    De manière générale, l'image d'un cercle-droite $\mathcal C$ par une homographie $f$ de la droite projective complexe $\widehat{\mathbb C}$ est un cercle-droite.
    Cette image est une droite ssi $\mathcal C$ passe par le pôle de $f$ (i.e. l'antécédent de $\infty$).
  • CalliCalli
    C'est vrai. Je me suis exprimé en termes un peu plus terre-à-terre.
  • gai requingai requin
    Tu as dû remarquer que je n'ai rien dit sur les EDP et autres transfo de Fourier ;)
    Mais ton truc donne envie, comme toujours avec les maths transversales !
  • CalliCalli
    Oui d'accord. :mrgreen:
    Après, écrire des fractions d'opérateurs différentiels comme si c'était juste des nombres est aussi exotique que la "droite projective complexe".  ;)
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