Enlever le nombre complexe j au dénominateur

tgbne
tgbne
Modifié (April 2022) dans Algèbre
Bonjour, sur certains calculs, j'ai du mal à enlever le nombre complexe au dénominateur. Notamment pour ces deux calculs :
$$\dfrac{j}{j-1}=\dfrac{1-j}{3}\qquad\text{et}\qquad \dfrac{1}{(j-1)(j+1)(j^{2}-j+1)}.$$
Je n'arrive pas à retrouver la première égalité. Je cherche à ne plus avoir de $j$ au dénominateur pour le second ($j=e^{i2\pi/3}$).

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (April 2022)
    Pour enlever un complexe non réel au dénominateur on multiplie par son conjugué « en haut et en bas ». 
    Je n’ai pas vérifié tes calculs. 
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (April 2022)
    Par le conjugué du dénominateur : 
    $\dfrac i{i-1}=\dfrac i{-1+i}=\dfrac{ i(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=...$
    Cordialement.
    [Corrigé après la remarque de John_john : i à la place de j]
  • john_john
    john_john
    Si le ${\rm j}$ est celui des matheux (différent de celui des physiciens), le conjugué de ${\rm j}$ n'est pas ${-\rm j}$.
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (April 2022)
    J'ai pensé qu'il s'agissait du $j$ donné par $j^2=-1$, mais ça ne marche pas pour avoir $\frac{1-j}3$. Par contre le $j$ complexe donné par $j^3=1$ donne bien la première égalité.
    Il y a sans doute des calculs plus directs que passer par la valeur de $j$, par exemple dans le deuxième, le produit de deux facteurs est très simple.
    Cordialement.
    NB : j'airais dû lire le premier message jusqu'au bout.
  • tgbne
    tgbne
    En effet, j'avais bien pensé à multiplier le dénominateur par son conjugué. L'astuce était en effet d'écrire au dénominateur. $j-1=-1+j$. Puis par conjugué, $(-1+j)(-1+j^{2})$. J'arrive bien à retrouver la première égalité et un résultat que je cherchais pour le second. Merci.
  • Math Coss
    Math Coss
    La conjugaison se fiche un peu de l'ordre dans lequel sont écrits les termes (d'une somme) ou les facteurs (d'un produit)...
  • jmf
    jmf
    @tgbne

    Je ne sais pas si ta question est toujours d''actualité.
    Concernant le nombre $j$, ce qui compte essentiellement c'est $j^2=-j-1$ et $\dfrac{1}{j}=j^2=\overline{j}$.

    Par exemple : $(j-1)(j+1)=-j-2$ et $j^{2}-j+1=-2j$
    donc $\dfrac{1}{(j-1)(j+1)(j^{2}-j+1)}=\dfrac{1}{2(j+2)j}=\dfrac{1}{2(j-1)}=\dfrac{1}{6}(\overline{j}-1)=-\dfrac{1}{4}\Bigl(1+\dfrac{i}{\sqrt3}\Bigr)$.

    Pour ce qui est de $|j-1|^2=3$, aucun calcul, c'est le cercle trigonométrique et Pythagore
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Modifié (May 2022)
    Bonjour
    ta première identité A est exacte
    et tu vas l'utiliser pour le calcul de la seconde B en évitant la présence de j au dénominateur.
    Tu pars de $j^3 +1 = (j + 1)(j^2 - j + 1)$ soit donc $\frac{1}{j^2 - j + 1} = \frac{j + 1}{2}$, puisque $j^3 = 1$.
    Soit donc $B = \frac{1}{(j - 1)(j + 1)(j^2 - j + 1)}=\frac{j + 1}{2(j - 1)(j + 1)} = \frac{1}{2(j - 1)}$ et en utilisant l'identité A :
    $B = \frac{1 - j}{6j} = \frac{1}{6j} - \frac{1}{6} = \frac{-j-1}{6} - \frac{1}{6}$, puisque $\frac{1}{j} = j^2 =  - j - 1$
    et donc finalement : $B= -\frac{j}{6} - \frac{1}{3}$.
    Cordialement.
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