Cet exercice est proposé dans la vingt deuxième leçon du Lebossé-Hémery, intitulée Foyers et Directrices.
Il faut donc utiliser un des nombreux théorèmes de ce chapitre.
On peut aussi chercher une solution analytique car comme je l'ai déjà dit, on aurait pu tomber sur cet exercice lors d'un oral des grands concours autrefois.
Heureusement cela n'a pas été le cas pour moi.
Amicalement
pappus
PS
Sur la figure ci-dessous où le centre $O$ et la directrice $\Delta$ sont donnés, j'ai colorié en jaune la région où le point $M$ doit se trouver pour qu'il existe au moins une conique de centre $O$ et de directrice $\Delta$ passant par $M$.
LE Lebossé-Hémery : j'ai acheté ce livre il y a soixante ans, alors élève entrant en Terminale, à un condisciple de la classe au-dessus qui venait d'avoir son baccalauréat (et qui d'ailleurs se prénommait Abd el Malik) et je ne soupçonnais pas quel trésor je venais d'acquérir...
Bonsoir, Les deux paraboles limites ont pour foyer $O$ et pour directrices les perpendiculaires à $\Delta$ situées à la même distance qu'elle de $O$. Pour la construction d'une conique à partir de $M$ je sèche, même avec l'indice.
Mon cher Ludwig Aurais- tu trouvé ces paraboles au pifomètre? Et qui prouve que ce sont des paraboles? Il est parfaitement normal que tu ne trouves rien dans un pays où l’enseignement de la géométrie se limite à ânonner ad nauseam les axiomes de Thalès et de Pythagore. Au moins pourrais-tu t’intéresser à la solution analytique? Amicalement pappus
Bonne nuit à tous Si on connaît un point $M$ d’une conique et son centre $O$, on connaît automatiquement un second point de la conique et on peut appliquer le théorème du Lebossé-Hémery Amicalement pappus
Cher pappus, Pour trouver les paraboles limites j'ai construit les ellipses à partir de leur foyers puis j'ai tracé leur enveloppe. Finalement j'ai trouvé comment construire les ellipses à partir d'un point $M$ : sur la perpendiculaire en $M$ à $\Delta$ je place $A$ tel que $HA.OK=HM.HM'$ ($M'$ symétrique de $M$ par rapport à la parallèle à $\Delta$ passant par $O$). Les foyers recherchés sont les intersections du cercle de diamètre $[AH]$ avec $(OK)$. Amicalement, Ludwig
Bonjour à tous, Ce serait pas ça plutôt la zone où le point $M$ doit se trouver ?
EDIT : ah d'accord ! La zone bleue pour les ellipses, la verte pour les paraboles, et la petite zone située entre la verte et les deux paraboles limites c'est pour les hyperboles. Je mélange : les paraboles ne sont pas des coniques à centre... la partie non bornée comprise entre les deux paraboles limites donnent des hyperboles.
Merci Ludwig et félicitations d'avoir eu le courage de t'attaquer à ce petit exercice destiné aux bacheliers d'autrefois.
Bravo pour toutes les idées que tu as développées.
Seulement tu as oublié le plus important!
Justifier ta construction et notamment ton égalité auprès de ceux de tes lecteurs qui ne connaissent que juste un peu plus que les axiomes de Thalès et de Pythagore
$HA.OK=HM.HM'$ ($M'$ symétrique de $M$ par rapport à la parallèle à $\Delta$ passant par $O$).
Je n'ai pas oublié, c'est juste que je n'ai pas trouvé comment le justifier. En attendant voici une construction pour les hyperboles, similaire à celle pour les ellipses : je place $A$ sur la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $O$ tel que $HM.HM'= HA.HP$ puis je construis le cercle de diamètre $[AH]$ dont les points d'intersection avec $(OK)$ sont les foyers recherchés. On peut noter aussi que les points de tangence des hyperboles obtenues avec les paraboles limites sont sur les cercles centrés sur $O$ et passant par les foyers. Idem pour les ellipses.
Pour justifier cette construction des foyers il faut partir du théorème 556 du Lebossé-Hémery je suppose ? C'est ce que j'ai fait mais je tourne en rond. Le théorème de l'angle inscrit pour poursuivre ?
Sans perte de généralité pour le cas d'une ellipse et avec les notations de la figure, si $F$ est un foyer, on a $MF/MH=M'F/M'H$ et donc $F$ appartient à un cercle d'Apollonius, dit $(\gamma)$. Ce cercle passe par $H$ et donc par $H'$, qui en est le conjugué à Monique par rapport au couple $(M,M')$. Si ce cercle coupe l'axe de la conique, c'est en les deux foyer possibles (éventuellement un seul) et il ne reste plus qu'à construire.
Enfin, la discussion de la réalité de l'intersection du cercle avec l'axe se ramène à une simple comparaison de distances, d'où la parabole discriminante.
Nota bene : si un moins de quarante ans lit ce qu'il précède, qu'il ne téléphone pas au SAMU ; je pense être encore sain d'esprit .
Le conjugué à Monique ? En fait si, je l'ai bien prouvé, car la façon dont j'ai trouvé la construction donne une preuve. Voilà comme j'ai fait : je place un point $m$ sur le cercle de centre $H$ passant par $M$ et je trace la médiatrice de $[mM]$, qui coupe $(mM')$ en $N$. Lorsque $m$ varie $N$ décrit un cercle et d'après le théorème 556 du Lebossé ce cercle va couper $(OK)$ aux foyers recherchés. Il reste dont à trouver le centre et le rayon de ce cercle. On sait déjà qu'il passe par $H$ et que son centre est sur $(MM')$. Il suffit donc de trouver un autre point particulier et il y en a un facile à placer : l'intersection $L$ de la médiatrice de $[MT]$ (voir figure) avec $(TM')$. Un coup de Thalès dans $HCM'LT$ donne le rayon : $CH = CL = HM.HM'/(HM+HM')$. Cette figure avec le point $T$ donne d'ailleurs une construction des foyers purement géométrique, sans le calcul de $HA$ :
Bravo à tous Le terrain est bien déblayé! Reste la solution analytique! Le même problème vu sous un autre angle!! On se donne un point $A$ et le centre $O$ et c’est la directrice $\Delta$ qui sert de paramètre! Amicalement pappus
Dans l'énoncé numérisé par Pappus, le cas <<trois points plus la directrice>> est également intéressant ; je joins le cas où la construction est possible et donne deux ellipses. L'une d'entre elles a pour foyers $F_1$ et $F'_1$ ; le foyer $F_1$ est obtenu comme intersection de deux cercles d'Apollonius et le foyer $F'_1$ comme intersection de deux hyperboles. Cette construction, comme celle de ce matin, rendue nécessaire par les éléments dont Géogébra a besoin pour tracer une conique.
En revanche, à l'époque du Lebossé, qu'entendait-on par <<construire>> ?
A l'époque construire une conique signifiait construire ses éléments de réduction euclidiens: sommets, foyers, centre, asymptotes, directrices, etc... quand ceux-ci avaient le bon gout d'exister
Je reviens sur ce que tu as dit sur le premier exercice du problème 716 du Lebossé-Hémery: les données étant trois points $A$, $B$, $C$ plus une directrice $\Delta$.
En fait, quand il y a des solutions réelles, tu as trois cercles d'Apollonius formant un faisceau à points de base $F_1$ et $F_2$ qui sont les foyers cherchés relatifs à la directrice $\Delta$.
Il y a donc une discussion à mener pour savoir la nature de ce faisceau.
Une fois qu'on est assuré d'être dans ce cas réel, l'autre foyer $F'_1$ s'obtient de la façon suivante.
Le cercle circonscrit au triangle formé par les symétriques de $F_1$ par rapport aux côtés du triangle $ABC$ est le cercle directeur relatif à l'autre foyer $F'_1$, la construction de ce foyer est donc très claire!
Je ne sais pas où tu as été chercher ces hyperboles!
La discussion à mener sur le nombre de solutions peut de faire de la façon suivante:
Les points $B$ et $C$ sont donnés ainsi que la directrice $\Delta$ et le point $A$ sert de paramètre.
Deux remarques sur la dernière construction : 1) Au sens de CaBri ou de GGb, une construction d'un point comme intersection de coniques est recevable ; l'était-elle jadis ? 2) Comme Pappus, je pense que la discussion générale doit être gratinée ; d'ailleurs, il faudrait envisager une ellipse et une hyperbole et non pas nécessairement deux coniques de même genre.
Ta construction du deuxième foyer d'une conique comme intersection de deux hyperboles me tarabuste car en principe elle ne serait pas possible avec la règle et le compas, ce qui risquerait de déranger les sectateurs de ces deux instruments obsolètes!
Ma figure ci-dessous montre comment construire le second foyer d'une conique donnée par un foyer $F$, sa directrice associée $\Delta$ et un point $M$.
Je trace les bissectrices de l'angle $\widehat{FMH}$.
Elles coupent la droite $FH$ aux points $T$ et $T'$ situés sur les tangentes aux sommets de l'axe focal.
Bonjour, Pappus, très joli, effectivement ! les sectateurs seront comblés d'aise (et encore, s'ils pensent à la division harmonique $TT'FH)$, mais courbatus du fait de tous les coups de règle et de compas à effectuer, ce d'autant plus qu'il en reste encore quelques-uns à venir (milieu de $TT'$, point $O$, point $F'$).
Curieux que personne ne veuille s'intéresser aux questions que je pose et que je pense plus intéressantes que les sempiternels tiercés de points alignés et de droites concourantes dont nous sommes submergés nuit et jour.
Ici il s'agit de refaire la construction quand la directrice $\Delta$ sert de paramètre, les points $A$ et $A'$ étant donnés.
Voici ma figure ci-dessous.
J'ai complété le carré $AUA'V$ et tracé les cercles $\Gamma_U$ et $\Gamma_V$ de centres $U$ et $V$ passant par $O$.
Le nombre de coniques solutions dépend des intersections de la directrice $\Delta$ avec l'un et l'autre de ces deux cercles.
On connaît une directrice d, un point
$P_1$, une tangente $t$ et son point de tangence $P$, comme ci-dessous :
Pour construire la conique dont on connaît une directrice d, un point
$P_1$, une tangente $t$ et son point de tangence $P$, on procédera comme suit :
1) Soit $M$ l'intersection entre $d$ et $t$. 2) On trace le cercle $\Phi$ de diamètre [MP].
3) On trace la droite $(PP_1)$. Soit $N$ son intersection avec la directrice $d.$
4) Si $p$ et $p_1$ sont les distances de $P$ et $P_1$ à la directrice
$d,$ respectivement, alors $\dfrac{PF}{ P_1F}=\dfrac{p}{ p_1}$ est constant. Ainsi,
le foyer $F$ doit être sur le cercle d'Apollonius $\Psi$, de $P$ et $P_1$ et de
rapport $k=\dfrac{PF}{ P_1F}.$ L'intersection des circonférences $\Phi$ et $\Psi$, nous donne deux foyers possibles $F_1$ et $F_2$, correspondant à la directrice $d$.
5) L'autre foyer $F′_1$, de la conique solution correspondant au foyer $F_1$, s'obtient en
trouvant le symétrique $S_1$ de $F_1$, par rapport à la tangente $t$. Le foyer $F′_1$ est l'intersection entre la droite $(PS_1)$ avec l'axe focal (droite perpendiculaire à la directrice d passant par $F_1$).
6) L'autre foyer $F′_2$, de la conique solution correspondant au foyer
$F_2$, s'obtient en
trouvant le symétrique $S_2$ de $F_2$, par rapport à la tangente $t$. Le
foyer $F′_2$ est l'intersection entre la droite $(PS_2)$ avec l'axe
focal (droite perpendiculaire à la directrice d passant par $F_2$).
Très intéressant mais as-tu répondu à ma question?
Construire une conique dont on se donne deux points diamétralement opposés $A$ et $A'$, en discutant le nombre de solutions sur la position de la directrice $\Delta$ qui sert de paramètre!
Que dois-je faire pour intéresser ne serait-ce qu'une personne à mes élucubrations!
Le problème est euclidien!
On va donc travailler dans un repère orthonormé dans lequel le point $A$ a pour coordonnées $(a,0)$ et le point $A'$ pour coordonnées $(-a ,0)$.
Le centre de la conique est donc l'origine des coordonnées à savoir le point $O(0,0)$, milieu du segment $AA'$.
Pour la directrice qui sert de paramètre, on écrit son équation sous sa forme générale:
$$uX+vY+w=0$$
L'axe focal a donc pour équation:
$$\dfrac Xu=\dfrac Yv$$
Mais c'est sans doute déjà trop difficile pour certains!!
La directrice $\Delta$ coupe la droite $AA'$ au point $P(-\dfrac wu,o)$.
On fait intervenir l'inverse $Q(-\dfrac{a^2u}w,0)$ du point $P$ par rapport au cercle de diamètre $AA'$.
Et on sait que les foyers sont à l'intersection de l'axe focal avec le cercle de diamètre $PQ$.
Le chemin à suivre est clair, d'abord écrire l'équation de ce dernier cercle ensuite chercher ses intersections avec l'axe focal et enfin discuter.
On sent bien que cela va être saignant!!!!!
Peu d'espoir que cela soit fait par un étudiant autochtone compte tenu de la vacuité de notre enseignement, peut-être par ceux qui sont de passage comme les ukrainiens par exemple?
Bonsoir, La signification du signe de ce discriminant sur la droite $\Delta$ d'équation $uX+vY+w=0$ n'aurait-elle pas quelque chose à voir avec les cercles de centre $(0,a)$ et $(0,-a)$ passant par l'origine ? Je dirais ceci : les droites $\Delta$ qui passent par un point $M$ donné de l'axe des abscisses et dont le signe du discriminant correspondant est positif sont celles situées dans la zone verte délimitée par les deux tangentes à ces cercles passant par $M$ (on écarte la tangente commune $y=0$). Et la zone complémentaire correspond à un discriminant négatif :
Avec GeoGebra et un bras tout est possible ! Au pifomètre au pifomètre.. mais non, pas du tout ! Cela dit j'ai trouvé cette réponse (est-elle juste au fait ?) sans me servir du contexte dans lequel est apparu le problème.
Je fixe $u$ puis je trace la courbe d'équation $\Big(\dfrac{a^2u^2+y^2}y\Big)^2=4a^2(u^2+x^2)$, correspondant à un discriminant nul (c'est la courbe orange de ma figure). Je place un point $M$ n'importe où dans le plan et je crée le point $M'=M$ dont je m'empresse d'activer la trace après avoir conditionné son affichage à la positivité du discriminant associé. Mon bras promène $M$ dans la fenêtre pour visualiser les zones (délimitées par la courbe déjà tracée) où ce discriminant est positif.
Puis je place méticuleusement le point $M$ sur la courbe et je met son compagnon $M'$ à la poubelle. La trace de la droite d'équation $ux+x(M)y+y(M)=0$ est activée et le point $M$ est lancé dans le circuit. Il ne reste plus qu'à trouver les caractéristiques des deux cercles-enveloppes obtenus et relier la positivité du discriminant à ces nouveaux objets géométriques. Une bonne journée, Ludwig.
Il va falloir discuter de la réalité des racines de cette équation du second degré
$\Delta$ est de même signe que sa forme factorisée multipliée par $w^2$, donc que $$\Big(a^2u^2-2aw\sqrt{u^2+v^2}+w^2\Big)\Big(a^2u^2+2aw\sqrt{u^2+v^2}+w^2\Big)$$ Discriminant réduit du polynôme en $a$ de chaque parenthèse ? $$\delta=w^2(u^2+v^2)-u^2w^2=(vw)^2$$ A priori, quatre zéros $$a=\dfrac{\pm w\sqrt{u^2+v^2}\pm vw}{u^2}=\dfrac{w}{u^2}\Big(\pm v\pm\sqrt{u^2+v^2}\Big)$$ D'où trois zones de discriminant positif et deux de discriminant négatif ?
Bonjour, En ayant privilégié $a$, je ne suis pas sûr d'avoir fait le meilleur choix de variable.
Je n'ai que ça à proposer $$\Delta=\dfrac{1}{u^4w^2}\Big(u^2a-w\big( v+\sqrt{u^2+v^2}\big)\Big)\Big(u^2a-w\big(v-\sqrt{u^2+v^2}\big)\Big)\Big(u^2a-w\big(- v+\sqrt{u^2+v^2}\big)\Big)\\ \Big(u^2a-w\big(- v-\sqrt{u^2+v^2}\big)\Big)$$Amicalement, Swingmustard
Mon cher Swingmustard Ce n’est pas une décomposition polynomiale et pourtant, pourtant, ce polynôme se décompose bien en produit de deux polynômes. Amicalement pappus
Je ne m'occupe que des cas limites c'est-à-dire lorsque le discriminant est nul.
L'annulation des deux polynômes de Rescassol correspond aux cas où l'axe focal est tangent au cercle de diamètre $PQ$.
Les coniques sont alors dégénérées en deux droites orthogonales sécantes aux points de contact. Les directrices enveloppent, toujours dans ce cas, les cercles mentionnés par pappus plus haut.
Si la directrice est extérieure aux deux cercles, le problème n'admet pas de solution.
N'oublie pas que c'est la directrice $\Delta$ qui sert de paramètre.
Les points $A$, $O$, $A'$ sont donnés et la directrice varie!
Que fait la directrice dans les cas limites quand ses coefficients $(u:v:w)$ annulent l'une ou l'autre des deux formes quadratiques découvertes par Rescassol?
Oui la directrice enveloppe l'un ou l'autre de ces deux cercles (tu ne l'avais pas dit la première fois que tu as mentionné ces cas limites) mais la conique ne se décompose pas!
Et la discussion (ellipse ou hyperbole) ne se fait pas suivant la position du point $P$ mais suivant la position du point de contact $M$ de la directrice avec l'un ou l'autre cercle. Cela me semble préférable.
Enfin il faut faire la discussion dans le cas général en dehors de ces cas limites!
Réponses
Les deux paraboles limites ont pour foyer $O$ et pour directrices les perpendiculaires à $\Delta$ situées à la même distance qu'elle de $O$. Pour la construction d'une conique à partir de $M$ je sèche, même avec l'indice.
Aurais- tu trouvé ces paraboles au pifomètre?
Et qui prouve que ce sont des paraboles?
Il est parfaitement normal que tu ne trouves rien dans un pays où l’enseignement de la géométrie se limite à ânonner ad nauseam les axiomes de Thalès et de Pythagore.
Au moins pourrais-tu t’intéresser à la solution analytique?
Amicalement
pappus
Bonne nuit à tous
Si on connaît un point $M$ d’une conique et son centre $O$, on connaît automatiquement un second point de la conique et on peut appliquer le théorème du Lebossé-Hémery
Amicalement
pappus
Pour trouver les paraboles limites j'ai construit les ellipses à partir de leur foyers puis j'ai tracé leur enveloppe.
Finalement j'ai trouvé comment construire les ellipses à partir d'un point $M$ : sur la perpendiculaire en $M$ à $\Delta$ je place $A$ tel que $HA.OK=HM.HM'$ ($M'$ symétrique de $M$ par rapport à la parallèle à $\Delta$ passant par $O$). Les foyers recherchés sont les intersections du cercle de diamètre $[AH]$ avec $(OK)$.
Amicalement, Ludwig
Ce serait pas ça plutôt la zone où le point $M$ doit se trouver ?
EDIT : ah d'accord ! La zone bleue pour les ellipses, la verte pour les paraboles, et la petite zone située entre la verte et les deux paraboles limites c'est pour les hyperboles.
Je mélange : les paraboles ne sont pas des coniques à centre...
Pour justifier cette construction des foyers il faut partir du théorème 556 du Lebossé-Hémery je suppose ? C'est ce que j'ai fait mais je tourne en rond. Le théorème de l'angle inscrit pour poursuivre ?
Enfin, la discussion de la réalité de l'intersection du cercle avec l'axe se ramène à une simple comparaison de distances, d'où la parabole discriminante.
Nota bene : si un moins de quarante ans lit ce qu'il précède, qu'il ne téléphone pas au SAMU ; je pense être encore sain d'esprit
En fait si, je l'ai bien prouvé, car la façon dont j'ai trouvé la construction donne une preuve. Voilà comme j'ai fait : je place un point $m$ sur le cercle de centre $H$ passant par $M$ et je trace la médiatrice de $[mM]$, qui coupe $(mM')$ en $N$. Lorsque $m$ varie $N$ décrit un cercle et d'après le théorème 556 du Lebossé ce cercle va couper $(OK)$ aux foyers recherchés. Il reste dont à trouver le centre et le rayon de ce cercle. On sait déjà qu'il passe par $H$ et que son centre est sur $(MM')$. Il suffit donc de trouver un autre point particulier et il y en a un facile à placer : l'intersection $L$ de la médiatrice de $[MT]$ (voir figure) avec $(TM')$. Un coup de Thalès dans $HCM'LT$ donne le rayon : $CH = CL = HM.HM'/(HM+HM')$.
Cette figure avec le point $T$ donne d'ailleurs une construction des foyers purement géométrique, sans le calcul de $HA$ :
Ludwig, voyons !! "conjugué à Monique"="conjugué harmonique" !!
Cordialement;
Rescassol
NB : parmi ces constructions, toutes étaient faisables en Mathélém, et toutes n'utilisent pas les théorèmes spécifiques du Lebossé-Hémery.
Le terrain est bien déblayé!
Reste la solution analytique!
Le même problème vu sous un autre angle!!
On se donne un point $A$ et le centre $O$ et c’est la directrice $\Delta$ qui sert de paramètre!
Amicalement
pappus
En revanche, à l'époque du Lebossé, qu'entendait-on par <<construire>> ?
Mais si : $AF_1+AF'_1=BF_1+BF'_1$ et donc $F'_1A-F'_1B=-F_1A+F_1B$. C'est vrai, j'aurais pu (dû !) penser aussi au second cercle directeur...
Amitiés, j__j
1) Au sens de CaBri ou de GGb, une construction d'un point comme intersection de coniques est recevable ; l'était-elle jadis ?
2) Comme Pappus, je pense que la discussion générale doit être gratinée ; d'ailleurs, il faudrait envisager une ellipse et une hyperbole et non pas nécessairement deux coniques de même genre.
Oublie ma dernière intervention
Je sors d’un repas copieusement arrosé et j’ai confondu sécantes et tangentes!
Amitiés
pappus
très joli, effectivement ! les sectateurs seront comblés d'aise (et encore, s'ils pensent à la division harmonique $TT'FH)$, mais courbatus du fait de tous les coups de règle et de compas à effectuer, ce d'autant plus qu'il en reste encore quelques-uns à venir (milieu de $TT'$, point $O$, point $F'$).
On connaît une directrice d, un point $P_1$, une tangente $t$ et son point de tangence $P$, comme ci-dessous :
Pour construire la conique dont on connaît une directrice d, un point $P_1$, une tangente $t$ et son point de tangence $P$, on procédera comme suit :
1) Soit $M$ l'intersection entre $d$ et $t$.
2) On trace le cercle $\Phi$ de diamètre [MP].
3) On trace la droite $(PP_1)$. Soit $N$ son intersection avec la directrice $d.$
4) Si $p$ et $p_1$ sont les distances de $P$ et $P_1$ à la directrice $d,$ respectivement, alors $\dfrac{PF}{ P_1F}=\dfrac{p}{ p_1}$ est constant. Ainsi, le foyer $F$ doit être sur le cercle d'Apollonius $\Psi$, de $P$ et $P_1$ et de rapport $k=\dfrac{PF}{ P_1F}.$ L'intersection des circonférences $\Phi$ et $\Psi$, nous donne deux foyers possibles $F_1$ et $F_2$, correspondant à la directrice $d$.
5) L'autre foyer $F′_1$, de la conique solution correspondant au foyer $F_1$, s'obtient en trouvant le symétrique $S_1$ de $F_1$, par rapport à la tangente $t$. Le foyer $F′_1$ est l'intersection entre la droite $(PS_1)$ avec l'axe focal (droite perpendiculaire à la directrice d passant par $F_1$).
6) L'autre foyer $F′_2$, de la conique solution correspondant au foyer $F_2$, s'obtient en trouvant le symétrique $S_2$ de $F_2$, par rapport à la tangente $t$. Le foyer $F′_2$ est l'intersection entre la droite $(PS_2)$ avec l'axe focal (droite perpendiculaire à la directrice d passant par $F_2$).
Amicalement
La signification du signe de ce discriminant sur la droite $\Delta$ d'équation $uX+vY+w=0$ n'aurait-elle pas quelque chose à voir avec les cercles de centre $(0,a)$ et $(0,-a)$ passant par l'origine ? Je dirais ceci : les droites $\Delta$ qui passent par un point $M$ donné de l'axe des abscisses et dont le signe du discriminant correspondant est positif sont celles situées dans la zone verte délimitée par les deux tangentes à ces cercles passant par $M$ (on écarte la tangente commune $y=0$). Et la zone complémentaire correspond à un discriminant négatif :
Je fixe $u$ puis je trace la courbe d'équation $\Big(\dfrac{a^2u^2+y^2}y\Big)^2=4a^2(u^2+x^2)$, correspondant à un discriminant nul (c'est la courbe orange de ma figure). Je place un point $M$ n'importe où dans le plan et je crée le point $M'=M$ dont je m'empresse d'activer la trace après avoir conditionné son affichage à la positivité du discriminant associé. Mon bras promène $M$ dans la fenêtre pour visualiser les zones (délimitées par la courbe déjà tracée) où ce discriminant est positif.
Puis je place méticuleusement le point $M$ sur la courbe et je met son compagnon $M'$ à la poubelle. La trace de la droite d'équation $ux+x(M)y+y(M)=0$ est activée et le point $M$ est lancé dans le circuit. Il ne reste plus qu'à trouver les caractéristiques des deux cercles-enveloppes obtenus et relier la positivité du discriminant à ces nouveaux objets géométriques. Une bonne journée, Ludwig.
$\Delta$ est de même signe que sa forme factorisée multipliée par $w^2$, donc que $$\Big(a^2u^2-2aw\sqrt{u^2+v^2}+w^2\Big)\Big(a^2u^2+2aw\sqrt{u^2+v^2}+w^2\Big)$$ Discriminant réduit du polynôme en $a$ de chaque parenthèse ? $$\delta=w^2(u^2+v^2)-u^2w^2=(vw)^2$$ A priori, quatre zéros $$a=\dfrac{\pm w\sqrt{u^2+v^2}\pm vw}{u^2}=\dfrac{w}{u^2}\Big(\pm v\pm\sqrt{u^2+v^2}\Big)$$ D'où trois zones de discriminant positif et deux de discriminant négatif ?
En ayant privilégié $a$, je ne suis pas sûr d'avoir fait le meilleur choix de variable.
Swingmustard
Ce n’est pas une décomposition polynomiale et pourtant, pourtant, ce polynôme se décompose bien en produit de deux polynômes.
Amicalement
pappus
$\Delta=\dfrac{(a^2u^2+2avw-w^2)(a^2u^2-2avw-w^2)}{w^2}$
Cordialement,
Rescassol
Autrement dit elles sont tangentes à l'un de ces deux cercles.