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Démonstration critère des séries alternées

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Réponses

  • Ne réfléchir qu’avec sa tête en oubliant ce que l’on « sait ». 
    Pas simple cela dit. 
  • 2 choses nouvelles pour OShine : réfléchir, et prendre conscience que ça sert de réfléchir.
  • Tu devrais essayer de prouver le théorème d'Abel... Ce n'est qu'un cas particulier.
  • Modifié (7 May)
    @bisam toute suite croissante est majorée par sa limite si on se place dans $\R \cup \{+ \infty \}$.
    Donc $S_{2p+1} \leq S$. De même toute suite décroissante est minorée par sa limite si on se place dans  $\R \cup \{- \infty \}$. Donc $S \leq S_{2p}$.
    Montrons que  $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$. Si $n$ est pair alors $R_n =S-S_{2p} \leq 0$ et $u_{2p+1} \leq 0$ car on a pris $u_0$ positif. 
    Si $n$ est impair alors $R_n= S- S_{2p+1} \geq 0$ et $u_{2p+1+1} \geq 0$.
    Il reste à montrer que $S$ est du signe de $u_0$. Je ne vois pas comment faire et je ne comprends pas l'explication du livre sur ce point. 
  • Modifié (6 May)
    Tu disposes de deux réels $a$ et $b$ vérifiant $|a|\leq |b|$ et tu souhaites montrer que $a+b$ est du signe de $b$.
    C'est de niveau fin de collège (dès qu'on a vu la définition de la valeur absolue en gros) et c'est certainement pour cette raison que ce n'est pas détaillé dans un bouquin de spéciale.
  • Signe au sens large.
  • Baric : le thm d'Abel prouve bien la règle, mais fournit une moins bonne majoration du reste.
  • @JLapin merci. 

    Si $b$ est positif alors $|a| \leq |b|$ devient $| a| \leq b$ donc $-b \leq a \leq b$ donc $0 \leq a+b \leq 2b$ donc $a+b$ est positif.

    Si $b$ est négatif alors $|a| \leq |b|$ devient $| a| \leq -b$ donc $b \leq a \leq -b$ donc $2b \leq a+b \leq 0$ donc $a+b$ est négatif.
  • lol.
    a+b est du signe du terme le plus grand en valeur absolue. Point final.  Si tu éprouves le besoin de le redémontrer, alors, bientôt, tu vas devoir redémontrer que le produit de 2 nombre négatifs est un nombre positif, ou d'autres trucs du genre.
  • John_john : oui, tu as raison mais je voulais juste signaler qu'il est peut être intéressant pour lui de prouver le cas général. J'ai du mal à voir la difficulté du critère des séries alternées. Mais chacun a ses difficultés... 
    Merci en tout cas !
  • Aparté-devinette : comment justifier, au niveau 4ème, la règle des signes ? Je ne parle pas forcément de démonstration.
  • DomDom
    Modifié (7 May)
    Difficile sans savoir de quoi on part comme acquis. 
    Cela dit : « b-a » est le seul nombre qui ajouté à a vaut b doit fonctionner pour tout. 
    Avec tout de même la commutativité pour + et $\times$. Tiens est-ce que ça suffit la commutativité ?
  • Modifié (7 May)
    @Dom : je pensais principalement à la distributivité.
  • Modifié (7 May)
    Sinon, on peut aussi montrer, en posant $S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}u_{k}$ que pour tout $p$ naturel, et tout naturel $n$
    \[\left|S_{n+p}-S_{n}\right|\leqslant u_{n}
    \]  qui montre que $S_{n}$ est de Cauchy donc converge, puis donne l'inégalité souhaitée en prenant $p\to+\infty$.

  • Modifié (8 May)
    Petite interrogation au passage : que fait cette question dans la rubrique algèbre ?
    [J'ai fait le transfert en analyse. AD]
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