Fonction complexe
Bonjour
Je suis sur un exercice où je cherche l'image de $\C$ par la fonction $f(z)=\dfrac1{2(z+|z|)}$.
J'ai $f(\C)$ inclus dans $E = \{x+iy \mid x\geq 0 ,\ y \in\R\}$ de manière évidente.
Dans mon livre il est dit $f(\C)=E$, mais j'ai beau faire je ne trouve pas d'antécédent par $f$ à un imaginaire pur et je trouve $f(\C)=E\setminus\{ia\mid a\in\R^*\}$
Quand je résous $f(x+iy)=iy'$ je trouve $x^2+\sqrt{x^2+y^2} = 0$ et $y'=2y$ ce qui me donne $x$ négatif et $y=0$ (donc nécessairement $y'=0$)
Quelqu'un pourrait-il infirmer ou confirmer.
Merci d'avance.
[Avec $\LaTeX$ c'est plus attirant. AD]
Réponses
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Il y a une coquille dans le livre, c'est $E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}$.
Une façon rapide de le démontrer :
poser $z=r e^{i t}$ avec $r>0$ et $-\pi<t<\pi$ puis mettre sous forme algébrique en écrivant $1+e^{it}=2e^{it/2}\cos(t/2)$. -
$E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}\cup \{0\}$ plutôt je pense.
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Comment obtiens-tu la valeur $0$ ?
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Je ne vois pas comment $0$ pourrait s'écrire $f(z)$.
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Bon ma fonction a été modifiée par quelqu'un (je ne l'avais pas tapé en latex) et du coup ce n'est pas la bonne : $f(z)=\dfrac1{2}(z+|z|)$.[Mille excuses, d'où l'intérêt de l'écrire directement en $\LaTeX$. AD]
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Pour cette fonction $f(\C)$ est bien égal à $E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}\cup \{0\}$.
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Merci beaucoup ....il y a donc bien une coquille dans le livre
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Bonus. Modifier le f pour avoir le même résultat du livre.Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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