Égalité espérance conditionnelle
Bonjour,
je ne comprends pas le résultat suivant.
On pose $\Omega = \mathbb{R}^2$ muni de la tribu borélienne.
On considère les fonctions projections $X(x,y)=x$ et $Y(x,y)=y$ qui sont donc des v.a.
On pose $P_1$ et $P_2$ deux probabilités sur $\Omega$ à support fini avec $supp(P_1)=supp(P_2)$. Un support fini c'est : un borélien $A$ fini tel que $P_1(X,Y \in A)=1$.
Pour simplifier on va dire que le support est $A=\{x_1,x_2,x_3\} \times \{y_1,y_2,y_3\}$
Si $ \forall i ,$ $E^{P_1}[Y\mid X=x_i]=E^{P_2}[Y\mid X=x_i]$ alors $E^{P_1}[Y\mid X]=E^{P_2}[Y\mid X]$.
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Réponses
On a l'égalité presque sûrement de ces deux espérances conditionnelles.
(en gros faut coincider avec le réel $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] $ quand on tire le sample $(X = x_i)$ dans l'expérience, ce qui revient à réaliser l’indicatrice)
Bon, on remarque que l'expression de gauche est censé être la même peu importe $P_1$ ou $P_2$ n’est-ce pas ? Tu peux donc légitimement conclure que oui, $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X ] = \mathbf{E}^{P_2} [ Y | X ] $. Un instant de réflexion te permet d'étendre cela au cas dénombrable pourvu qu'on ait une bonne définition du réel $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] $.
3 ) De façon plus abstraite, si on vérifie l’égalité :
4 ) L'espérance conditionnelle est un objet difficile et dangereux, il ne faut pas hésiter à poser des questions.