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Égalité espérance conditionnelle

Bonjour,
je ne comprends pas le résultat suivant.
On pose $\Omega = \mathbb{R}^2$ muni de la tribu borélienne.
On considère les fonctions projections $X(x,y)=x$ et $Y(x,y)=y$ qui sont donc des v.a.
On pose $P_1$ et $P_2$ deux probabilités sur $\Omega$ à support fini avec $supp(P_1)=supp(P_2)$. Un support fini c'est : un borélien $A$ fini tel que $P_1(X,Y \in A)=1$.

Pour simplifier on va dire que le support est $A=\{x_1,x_2,x_3\} \times \{y_1,y_2,y_3\}$
Si $ \forall i  ,$   $E^{P_1}[Y\mid X=x_i]=E^{P_2}[Y\mid X=x_i]$ alors $E^{P_1}[Y\mid X]=E^{P_2}[Y\mid X]$.

Réponses

  • Modifié (7 May)
    N'est-ce pas tout simplement l'espérance conditionnelle dans le cas discret ?
    On a l'égalité presque sûrement de ces deux espérances conditionnelles.
  • Modifié (7 May)
    Merci pour ta réponse,
    Mais j'ai l'impression qu'il manque quelque chose pour conclure.
    Je détaille un peu plus :
    la notion de presque sûr dépend d'une proba fixé donc il faut préciser $P_1$ presque sûr ou $P_2$ presque sûr si on en parle.
    La dernière égalité est une égalité de variable aléatoire, j'ai du mal à comprendre ce que ça veut dire étant donné qu'elle ne sont pas définie sur le même espace probabilisé.
    Je ne suis pas habitué à manipuler ces objets donc il y a peut être des trucs que je comprends de travers.
  • Modifié (5 Jun)
    Déterrage mais ça pourrait être utile à un futur étudiant.
    1 ) quand on parle de probas, le terme “égalité” se comprend toujours $ \mathbf{P}-$ presque sûrement
    2 ) dans le cas fini, tu as une expression de l’espérance conditionnelle qui est :
    $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X ] = \sum_{i = 1}^n \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ]  \times \mathbf{I}(X = x_i)  $
    (en gros faut coincider avec le réel $  \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] $ quand on tire le sample $(X = x_i)$ dans l'expérience, ce qui revient à réaliser l’indicatrice)
    Bon, on remarque que l'expression de gauche est censé être la même peu importe $P_1$ ou $P_2$ n’est-ce pas ? Tu peux donc légitimement conclure que oui, $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X ] = \mathbf{E}^{P_2} [ Y | X ] $. Un instant de réflexion te permet d'étendre cela au cas dénombrable pourvu qu'on ait une bonne définition du réel $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] $.
    3 ) De façon plus abstraite, si on vérifie l’égalité :
    \[ \int_A Y(\omega) \mathrm{d} P_1( \omega) = \int_A Y(\omega) \mathrm{d} P_2( \omega) \] pour tout borélien $A \in \sigma(X) $ et bien oui, les espérances conditionnelles $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X  ] $ et $ \mathbf{E}^{P_2} [ Y | X  ] $ coincident ( $P_1 \otimes P_2$ on sait on sait ... )
    4 ) L'espérance conditionnelle est un objet difficile et dangereux, il ne faut pas hésiter à poser des questions.
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
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