Fonction complexe

ajuma · May 2022

Bonjour

Je suis sur un exercice où je cherche l'image de $\C$ par la fonction $f(z)=\dfrac1{2(z+|z|)}$.

J'ai $f(\C)$ inclus dans $E = \{x+iy \mid x\geq 0 ,\ y \in\R\}$ de manière évidente.

Dans mon livre il est dit $f(\C)=E$, mais j'ai beau faire je ne trouve pas d'antécédent par $f$ à un imaginaire pur et je trouve $f(\C)=E\setminus\{ia\mid a\in\R^*\}$

Quand je résous $f(x+iy)=iy'$ je trouve $x^2+\sqrt{x^2+y^2} = 0$ et $y'=2y$ ce qui me donne $x$ négatif et $y=0$ (donc nécessairement $y'=0$)

Quelqu'un pourrait-il infirmer ou confirmer.

Merci d'avance.

[Avec $\LaTeX$ c'est plus attirant.

AD]

jandri · May 2022

Il y a une coquille dans le livre, c'est $E = \{x+iy \mid x> 0 ,\ y \in\R\}$.

Une façon rapide de le démontrer :
poser $z=r e^{i t}$ avec $r>0$ et $-\pi<t<\pi$ puis mettre sous forme algébrique en écrivant $1+e^{it}=2e^{it/2}\cos(t/2)$.