Résolution d'une équation différentielle
Bonjour
Je sais bien que la question a l'air évidente comme ceci - et elle l'est probablement - mais étonnamment, je n'arrive pas à la résoudre.
$$7id=-(D-2id)\circ(D+3id)+D^2+D+id$$
Comment montrer que $D^2 (y)+D(y)-6y \in G$ et $D^2 (y)+D(y)+y\in H$, où $y\in F$.
J'ai beau utiliser la relation qu'on a sur $y$ pour montrer ces deux identités, je n'y parviens pas... Quelqu'un peut me montrer svp ?
Je sais bien que la question a l'air évidente comme ceci - et elle l'est probablement - mais étonnamment, je n'arrive pas à la résoudre.
Soit $F$ l'ensemble des fonctions $f$ réelles à valeurs réelles telles trois fois dérivables et $f'''-f''-f'-2f=0$.
Soit $D$ la fonction dérivée, qui prend des fonctions réelles dans l'espace des fonctions indéfiniment dérivables et renvoie la fonction dérivée associée.
Notons $H=\ker(D-2id)$ et $G=\ker(D^2+D+id)$. On peut montrer bien sûr que : $$7id=-(D-2id)\circ(D+3id)+D^2+D+id$$
Comment montrer que $D^2 (y)+D(y)-6y \in G$ et $D^2 (y)+D(y)+y\in H$, où $y\in F$.
J'ai beau utiliser la relation qu'on a sur $y$ pour montrer ces deux identités, je n'y parviens pas... Quelqu'un peut me montrer svp ?
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Réponses
$$Y = [y,y',y'']^\top = \begin{bmatrix} y\\y'\\y''\end{bmatrix}$$
Il s'agit d'un exercice calculatoire. Je ne pense pas qu'il soit utile d'invoquer une autre méthode que celle qui a été présentée au départ et qui est la plus simple à mon avis.