Théorème des résidus
Bonjour,
Soient $f_0(x)=\frac{1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{1}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ et $f_1(x)=\frac{p_1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{p_2}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ deux fonctions propres d'un opérateur autoadjoint sur $L^2(\mathbb T)$, $\mathbb T:=\mathbb R/(2\pi \mathbb Z)$, $|p_1|<1, |p_2|<1$. Ces deux vecteurs sont associés à des valeurs propres réelles distinctes, donc forcément $f_0$ et $f_1$ sont orthogonaux. Sauf que quand j'essaye de calculer leur produit scalaire (produit scalaire canonique dans $L^2$) je ne trouve pas zéro. Je procède en utilisant le théorème des résidus:
\begin{align*}
\langle f_0\mid f_1\rangle
=&\int_{C(0,1)}f_0(z)\overline{f_1(z)}\frac{dz}{2 \pi i z}
\\
=&\int_{C(0,1)}(\frac{1}{1-p_1z}-\frac{1}{1-p_2z})(\frac{\overline{p_1}}{z-\overline{p_1}}-\frac{\overline{p_2}}{z-\overline{p_2}})\, \frac{dz}{2 \pi i }
\\
=&\frac{\overline{p_1}}{1-|p_1|^2}-\frac{\overline{p_2}}{1-p_1\overline{p_2}}-\frac{\overline{p_1}}{1-p_2\overline{p_1}}+\frac{\overline{p_2}}{1-|p_2|^2}
\end{align*}
Et là, si je réduis le tout au même dénominateur, je n'obtiens pas zéro. Je crains que j'ai mal appliqué le théorème des résidus. Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance !
Soient $f_0(x)=\frac{1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{1}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ et $f_1(x)=\frac{p_1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{p_2}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ deux fonctions propres d'un opérateur autoadjoint sur $L^2(\mathbb T)$, $\mathbb T:=\mathbb R/(2\pi \mathbb Z)$, $|p_1|<1, |p_2|<1$. Ces deux vecteurs sont associés à des valeurs propres réelles distinctes, donc forcément $f_0$ et $f_1$ sont orthogonaux. Sauf que quand j'essaye de calculer leur produit scalaire (produit scalaire canonique dans $L^2$) je ne trouve pas zéro. Je procède en utilisant le théorème des résidus:
\begin{align*}
\langle f_0\mid f_1\rangle
=&\int_{C(0,1)}f_0(z)\overline{f_1(z)}\frac{dz}{2 \pi i z}
\\
=&\int_{C(0,1)}(\frac{1}{1-p_1z}-\frac{1}{1-p_2z})(\frac{\overline{p_1}}{z-\overline{p_1}}-\frac{\overline{p_2}}{z-\overline{p_2}})\, \frac{dz}{2 \pi i }
\\
=&\frac{\overline{p_1}}{1-|p_1|^2}-\frac{\overline{p_2}}{1-p_1\overline{p_2}}-\frac{\overline{p_1}}{1-p_2\overline{p_1}}+\frac{\overline{p_2}}{1-|p_2|^2}
\end{align*}
Et là, si je réduis le tout au même dénominateur, je n'obtiens pas zéro. Je crains que j'ai mal appliqué le théorème des résidus. Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance !
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Réponses
Je ne vois pas d'erreur dans ton calcul. J'ai peut-être aussi raté quelque chose, je ne sais pas...
Sinon, vérifie peut-être les expressions de tes fonctions.
EDIT: je n'avais pas vu qu'il y avait un $z$ dans le $dz/(2i\pi z)$, voir plus bas.
Dans ce cas là, il y a bien seulement $\overline{p_1}$ et $\overline{p_2}$ comme pôles à l'intérieur du disque unité et les calculs ont l'air corrects.
À mon avis il y a un problème avec ce $\dfrac{dz}{2i\pi z}$ qui me parait bizarre, non ?
$2\pi$ est peut-être en trop, mais à part ça le $\frac{dz}{i z}$ me paraît ok car il est égal à $dx$ lorsque $z:= e^{ix}$ ($x\in[0,2\pi]$, $z\in C(0,1)$).