Résolution d'une équation différentielle

Tony Schwarzer
Tony Schwarzer
Modifié (May 2022) dans Algèbre
Bonjour
Je sais bien que la question a l'air évidente comme ceci - et elle l'est probablement - mais étonnamment, je n'arrive pas à la résoudre.
Soit $F$ l'ensemble des fonctions $f$ réelles à valeurs réelles telles trois fois dérivables et $f'''-f''-f'-2f=0$.
Soit $D$ la fonction dérivée, qui prend des fonctions réelles dans l'espace des fonctions indéfiniment dérivables et renvoie la fonction dérivée associée.
Notons $H=\ker(D-2id)$ et $G=\ker(D^2+D+id)$. On peut montrer bien sûr que : 
$$7id=-(D-2id)\circ(D+3id)+D^2+D+id$$
Comment montrer que $D^2 (y)+D(y)-6y \in G$ et $D^2 (y)+D(y)+y\in H$, où $y\in F$.
J'ai beau utiliser la relation qu'on a sur $y$ pour montrer ces deux identités, je n'y parviens pas... Quelqu'un peut me montrer svp ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (May 2022)
    Bonjour
    Que vaut $(D-2\,\mathrm{Id})\circ (D^2+D+\mathrm{Id})$ ?
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Modifié (May 2022)
    Bonjour. En effet... J'avais inversé les rôles de $G$ et $H$. Pour cela, ça ne fonctionnait pas... C'est tout de suite plus évident. Merci.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (May 2022)
    À noter qu'on peut aussi poser $Y = [y,y',y'']^\top$ pour se ramener à un système d'ordre $1$ :  $Y' = A\,Y$, qu'on résout facilement en diagonalisant $A$.
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Je ne connais rien aux commutateurs, désolé.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Qui te parle de commutateur ?
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Le $\top$ est simplement la transposée:
    $$Y = [y,y',y'']^\top = \begin{bmatrix} y\\y'\\y''\end{bmatrix}$$
    $Y$ est donc un vecteur colonne.
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Ok je n'avais pas compris désolé, un peu bizarre les crochets pour un triplet assimilé à un vecteur ligne. Je pensais qu'il y avait une référence à quelque chose d'autre. Puisque je n'y connais rien, je ne savais pas.
  • etanche
    etanche
    Modifié (May 2022)
    Pourquoi ne pas considérer l’équation caractéristique $x^3-x^2 -x -2=0$ qui a pour racines $r_1= 2 , r_2= j , r_3=j^2$.
    Du coup les solutions complexes sont $y(x)=a\exp(r_1x) + b\exp(r_2x) + c\exp(r_3x)$, où $a,b,c $ des nombres complexes. 
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (May 2022)
    Le polynôme de l'équation caractéristique est exactement le polynôme caractéristique de $A$ (tes racines sont les valeurs propres). C'est de la diagonalisation cachée.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    L'esprit de l'exercice, tel qu'on peut le deviner, me semble être d'utiliser le lemme des noyaux sur l'espace des solutions de l'équadiff homogène, qui est le noyau de $D^3-D^2-D-2\,\mathrm{Id}=(D-2\,\mathrm{Id})\circ (D^2+D+\mathrm{Id})$.
    Pour quoi faire exactement ? Tomy Schwarzer ne nous l'a pas dit. Je ne pense pas que le problème soit la résolution de l'équadiff.



  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Il s'agit bien de la résolution d'une équation différentielle par l'algèbre linéaire. Au passage : Tony.
    Il s'agit d'un exercice calculatoire. Je ne pense pas qu'il soit utile d'invoquer une autre méthode que celle qui a été présentée au départ et qui est la plus simple à mon avis.
  • JLapin
    JLapin
    Et quelle méthode estimes-tu avoir présenté dans le premier message ?
    Pour ma part, je ne l'ai pas reconnue.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    La diagonalisation/équation caractéristique est dans doute le plus simple ici.
  • math2
    math2
    Modifié (May 2022)
    @ Tony : je suis d'accord avec les autres messages.
    La méthode la plus simple, standard et automatique, consiste à utiliser l'équation caractéristique, soit sur l'équation (le plus courant), soit en se ramenant à un système du premier ordre dont on diagonalise la matrice.
    Qu'ensuite, cela peut être un exercice de diagonalisation cachée ou d'application du lemme des noyaux, vue la manière dont tu le présentes, cela me semble être le cas.
    Parlant d'ailleurs du lemme des  noyaux, j'ai dans mes fiches d'exercices un exo (détaillé), de mémoire emprunté à un volume des Leichtnam & Schauer : résoudre $y''+2xy'+(x^2+k)y=0$, $k$ étant un réel fixé tel que $k \leq 1$. Pour le résoudre, on cherche les valeurs propres de $T:y \mapsto [x\mapsto y'(x)+xy(x)]$, puis on utilise le lemme des noyaux sur $T^2-\mu Id$, avec $\mu$ réel positif. 
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