Théorème des résidus

Bonjour,
Soient $f_0(x)=\frac{1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{1}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ et  $f_1(x)=\frac{p_1}{1-p_1\mathrm{e}^{ix}}-\frac{p_2}{1-p_2\mathrm{e}^{ix}}$ deux fonctions propres d'un opérateur autoadjoint sur $L^2(\mathbb T)$, $\mathbb T:=\mathbb R/(2\pi \mathbb Z)$, $|p_1|<1, |p_2|<1$. Ces deux vecteurs sont associés à des valeurs propres réelles distinctes, donc forcément $f_0$ et $f_1$ sont orthogonaux. Sauf que quand j'essaye de calculer leur produit scalaire (produit scalaire canonique dans $L^2$) je ne trouve pas zéro. Je procède en utilisant le théorème des résidus: 
\begin{align*}
\langle f_0\mid f_1\rangle
=&\int_{C(0,1)}f_0(z)\overline{f_1(z)}\frac{dz}{2 \pi i z}
\\
=&\int_{C(0,1)}(\frac{1}{1-p_1z}-\frac{1}{1-p_2z})(\frac{\overline{p_1}}{z-\overline{p_1}}-\frac{\overline{p_2}}{z-\overline{p_2}})\, \frac{dz}{2 \pi i }
\\
=&\frac{\overline{p_1}}{1-|p_1|^2}-\frac{\overline{p_2}}{1-p_1\overline{p_2}}-\frac{\overline{p_1}}{1-p_2\overline{p_1}}+\frac{\overline{p_2}}{1-|p_2|^2}
\end{align*}
Et là, si je réduis le tout au même dénominateur, je n'obtiens pas zéro. Je crains que j'ai mal appliqué le théorème des résidus. Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance !