Lieu
Bonjour à tous
Voici un exercice qu'on aurait pu poser aux très bons bacheliers d'autrefois et sans doute aux oraux des grands concours il y a plus de 70 ans.
Heureusement que je ne suis pas tombé dessus sinon je ne serais pas là pour vous en parler.
Voici l'énoncé qu'on devrait trouver dans les fameux Tripos, il faudra que je vérifie
Lieu des foyers des paraboles passant par deux points $A$ et $B$ et de direction asymptotique donnée matérialisée par la droite $L$.
Amicalement
pappus
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Réponses
Cordialement,
Rescassol
Ta figure semble exacte.
Le lieu est bien une hyperbole!
Encore faut-il donner ses éléments de réduction et les justifier!
Amicalement
pappus
L'autre est de direction symétrique de la droite $(AB)$ par rapport à cette direction d'axe.
Rescassol
L'hyperbole a pour équation $T_{x^2}+T_{xy}+T_x+T_y+T_0=0$ avec :
Rescassol
Tu es un excellent observateur mais cela ne fait pas une démonstration.
Rescassol
Tu nous infliges l’équation de l’hyperbole sans nous dire comment tu l’as obtenue!
Au fait, comment as-tu tracé ta figure?
Amicalement
pappus
Cordialement,
Rescassol
$|FA-FB|=|AA_1-BB_1|=AK=|y_B-y_A|$
Cordialement,
Rescassol
On prend comme repère barycentrique le triangle $A,B,C$, avec $AC$ dans la bonne direction. Cela laisse une indétermination sur $C$ et donc on ne trouvera pas n'importe quelle expression en $a,b,c$ mais seulement celles qui dépendent en fait de $c$ et de $\cos A, \sin A$. On fait quelques calculs. Comme ce sont des calculs impitoyables, on obtient les foyers et les asymptotes de l'hyperbole en vert.
Cela, c'était la partie essentielle de l'exercice: utiliser chaque situation pour s'exercer aux méthodes générales. Rien n'empèche, ensuite, de trouver une ruse "sans calculs" qui ne servira à rien sur le long terme: une ruse par problème rusé. On a $BF=BH_b$ ainsi que $AF=AH_a$. On soustrait membre à membre. Et l'on s'écrie: ah quel très bon lycéen j'étais en ces temps zanciens! Cela c'était Thalès. Et maintenant: Pythagore. On utilise $f^2=a^2+b^2$. Ne sait-on pas quelles sont les directions qui portent les longueurs $a$ et $b$ ? Et l'on s'écrie: protège tes chevilles, toi le bouillant Achile,le grand Myrmidon!.
Cordialement, Pierre.
Pappus, je me suis corrigé avant de t'avoir lu, et encore moins d'avoir lu Pierre.
Je vais le faire maintenant.
Cordialement,
Rescassol
Cordialement, Pierre.
Cordialement, Pierre.