Désolé pour cet oubli : Espace de Sobolev. $H^{1}=H^{1}\left( \Omega \right)$ avec $\Omega =]0,1[$ ou encore $W^{1.2}(]0,1[)$ et $\| v\|_{\infty } =\sup_{]0,1[} v$
Soit $f\in\mathcal{C}^1([0,1])$. Montrer que : $\forall x,y\in{]0,1[},\; |f(x)-f(y)|^2\leqslant \int_0^1 |f'|^2$.
Toujours avec la même fonction $f$, en déduire que : $\forall x\in{]0,1[},\; |f(x)|^2\leqslant 2\big(\int_0^1 |f|^2+ \int_0^1 |f'|^2\big)$, i.e. $\|f\|_\infty \leqslant \sqrt{2}\|f\|_{H^1}$.
Étendre cette inégalité aux autres fonctions de $H^1(]0,1[)$ par densité.
Option 2 :
En utilisant la transformée de Fourier, montrer que : $\exists c>0, \forall f\in H^1(\Bbb R), \;\|f\|_{L^\infty(\Bbb R)}\leqslant c\|f\|_{H^1(\Bbb R)}$.
En déduire le résultat sur $]0,1[$ en plongeant $H^1(]0,1[)$ dans $H^1(\Bbb R)$.
Réponses
$H^{1}=H^{1}\left( \Omega \right)$ avec $\Omega =]0,1[$ ou encore $W^{1.2}(]0,1[)$
et $\| v\|_{\infty } =\sup_{]0,1[} v$
Je vois deux options :
Option 1 :
- Soit $f\in\mathcal{C}^1([0,1])$. Montrer que : $\forall x,y\in{]0,1[},\; |f(x)-f(y)|^2\leqslant \int_0^1 |f'|^2$.
- Toujours avec la même fonction $f$, en déduire que : $\forall x\in{]0,1[},\; |f(x)|^2\leqslant 2\big(\int_0^1 |f|^2+ \int_0^1 |f'|^2\big)$, i.e. $\|f\|_\infty \leqslant \sqrt{2}\|f\|_{H^1}$.
- Étendre cette inégalité aux autres fonctions de $H^1(]0,1[)$ par densité.
Option 2 :