Preuve d'un lemme classique

diegau
diegau
Modifié (May 2022) dans Analyse
Bonjour,
je cherche à établir la preuve du lemme suivant.
$$\exists c \in R,\ \forall v \in H^1,\qquad \| v\|_{L^{\infty }} \leq c\,\| v\|_{H^{1}} .$$

Réponses

  • P.
    P.
    $H^1$ espace de Hardy? sur quoi? les reels, le disque, le cercle?
  • diegau
    diegau
    Modifié (May 2022)
    Désolé pour cet oubli : Espace de Sobolev. 
    $H^{1}=H^{1}\left( \Omega \right)$ avec $\Omega =]0,1[$ ou encore $W^{1.2}(]0,1[)$
    et $\| v\|_{\infty } =\sup_{]0,1[} v$
  • Calli
    Calli
    Modifié (May 2022)
    Bonjour,
    Je vois deux options :

    Option 1 :
    1. Soit $f\in\mathcal{C}^1([0,1])$. Montrer que : $\forall x,y\in{]0,1[},\; |f(x)-f(y)|^2\leqslant \int_0^1 |f'|^2$.
    2. Toujours avec la même fonction $f$, en déduire que : $\forall x\in{]0,1[},\; |f(x)|^2\leqslant 2\big(\int_0^1 |f|^2+ \int_0^1 |f'|^2\big)$, i.e. $\|f\|_\infty \leqslant \sqrt{2}\|f\|_{H^1}$.
    3. Étendre cette inégalité aux autres fonctions de $H^1(]0,1[)$ par densité.
    Option 2 :
    1. En utilisant la transformée de Fourier, montrer que : $\exists c>0, \forall f\in H^1(\Bbb R), \;\|f\|_{L^\infty(\Bbb R)}\leqslant c\|f\|_{H^1(\Bbb R)}$.
    2. En déduire le résultat sur $]0,1[$ en plongeant $H^1(]0,1[)$ dans $H^1(\Bbb R)$.
  • diegau
    diegau
    L'option 1 me plait bien mais dans ce cas $c=1$ car on obtient bien la norme sur $H^1$ à droite ?
  • Calli
    Calli
    Non, $c=\sqrt{2}$ (j'ai modifié mon message entre temps).
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