@bisam toute suite croissante est majorée par sa limite si on se place dans $\R \cup \{+ \infty \}$. Donc $S_{2p+1} \leq S$. De même toute suite décroissante est minorée par sa limite si on se place dans $\R \cup \{- \infty \}$. Donc $S \leq S_{2p}$. Montrons que $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$. Si $n$ est pair alors $R_n =S-S_{2p} \leq 0$ et $u_{2p+1} \leq 0$ car on a pris $u_0$ positif. Si $n$ est impair alors $R_n= S- S_{2p+1} \geq 0$ et $u_{2p+1+1} \geq 0$. Il reste à montrer que $S$ est du signe de $u_0$. Je ne vois pas comment faire et je ne comprends pas l'explication du livre sur ce point.
Tu disposes de deux réels $a$ et $b$ vérifiant $|a|\leq |b|$ et tu souhaites montrer que $a+b$ est du signe de $b$.
C'est de niveau fin de collège (dès qu'on a vu la définition de la valeur absolue en gros) et c'est certainement pour cette raison que ce n'est pas détaillé dans un bouquin de spéciale.
lol. a+b est du signe du terme le plus grand en valeur absolue. Point final. Si tu éprouves le besoin de le redémontrer, alors, bientôt, tu vas devoir redémontrer que le produit de 2 nombre négatifs est un nombre positif, ou d'autres trucs du genre.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
John_john : oui, tu as raison mais je voulais juste signaler qu'il est peut être intéressant pour lui de prouver le cas général. J'ai du mal à voir la difficulté du critère des séries alternées. Mais chacun a ses difficultés... Merci en tout cas !
Sinon, on peut aussi montrer, en posant $S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}u_{k}$ que pour tout $p$ naturel, et tout naturel $n$ \[\left|S_{n+p}-S_{n}\right|\leqslant u_{n} \] qui montre que $S_{n}$ est de Cauchy donc converge, puis donne l'inégalité souhaitée en prenant $p\to+\infty$.
Réponses
Donc $S_{2p+1} \leq S$. De même toute suite décroissante est minorée par sa limite si on se place dans $\R \cup \{- \infty \}$. Donc $S \leq S_{2p}$.
Montrons que $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$. Si $n$ est pair alors $R_n =S-S_{2p} \leq 0$ et $u_{2p+1} \leq 0$ car on a pris $u_0$ positif.
Si $n$ est impair alors $R_n= S- S_{2p+1} \geq 0$ et $u_{2p+1+1} \geq 0$.
Il reste à montrer que $S$ est du signe de $u_0$. Je ne vois pas comment faire et je ne comprends pas l'explication du livre sur ce point.
Si $b$ est positif alors $|a| \leq |b|$ devient $| a| \leq b$ donc $-b \leq a \leq b$ donc $0 \leq a+b \leq 2b$ donc $a+b$ est positif.
Si $b$ est négatif alors $|a| \leq |b|$ devient $| a| \leq -b$ donc $b \leq a \leq -b$ donc $2b \leq a+b \leq 0$ donc $a+b$ est négatif.
a+b est du signe du terme le plus grand en valeur absolue. Point final. Si tu éprouves le besoin de le redémontrer, alors, bientôt, tu vas devoir redémontrer que le produit de 2 nombre négatifs est un nombre positif, ou d'autres trucs du genre.
Merci en tout cas !
\[\left|S_{n+p}-S_{n}\right|\leqslant u_{n}
\] qui montre que $S_{n}$ est de Cauchy donc converge, puis donne l'inégalité souhaitée en prenant $p\to+\infty$.