Démonstration critère des séries alternées

Dom · May 2022

Ne réfléchir qu’avec sa tête en oubliant ce que l’on « sait ».

Pas simple cela dit.

lourrran · May 2022

2 choses nouvelles pour OShine : réfléchir, et prendre conscience que ça sert de réfléchir.

Baric · May 2022

Tu devrais essayer de prouver le théorème d'Abel... Ce n'est qu'un cas particulier.

OShine · May 2022

@bisam toute suite croissante est majorée par sa limite si on se place dans $\R \cup \{+ \infty \}$.
Donc $S_{2p+1} \leq S$. De même toute suite décroissante est minorée par sa limite si on se place dans $\R \cup \{- \infty \}$. Donc $S \leq S_{2p}$.
Montrons que $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$. Si $n$ est pair alors $R_n =S-S_{2p} \leq 0$ et $u_{2p+1} \leq 0$ car on a pris $u_0$ positif.
Si $n$ est impair alors $R_n= S- S_{2p+1} \geq 0$ et $u_{2p+1+1} \geq 0$.
Il reste à montrer que $S$ est du signe de $u_0$. Je ne vois pas comment faire et je ne comprends pas l'explication du livre sur ce point.

JLapin · May 2022

Tu disposes de deux réels $a$ et $b$ vérifiant $|a|\leq |b|$ et tu souhaites montrer que $a+b$ est du signe de $b$.

C'est de niveau fin de collège (dès qu'on a vu la définition de la valeur absolue en gros) et c'est certainement pour cette raison que ce n'est pas détaillé dans un bouquin de spéciale.

gai requin · May 2022

Signe au sens large.

john_john · May 2022

Baric : le thm d'Abel prouve bien la règle, mais fournit une moins bonne majoration du reste.

OShine · May 2022

@JLapin merci.

Si $b$ est positif alors $|a| \leq |b|$ devient $| a| \leq b$ donc $-b \leq a \leq b$ donc $0 \leq a+b \leq 2b$ donc $a+b$ est positif.

Si $b$ est négatif alors $|a| \leq |b|$ devient $| a| \leq -b$ donc $b \leq a \leq -b$ donc $2b \leq a+b \leq 0$ donc $a+b$ est négatif.

lourrran · May 2022

lol.
a+b est du signe du terme le plus grand en valeur absolue. Point final. Si tu éprouves le besoin de le redémontrer, alors, bientôt, tu vas devoir redémontrer que le produit de 2 nombre négatifs est un nombre positif, ou d'autres trucs du genre.

Baric · May 2022

John_john : oui, tu as raison mais je voulais juste signaler qu'il est peut être intéressant pour lui de prouver le cas général. J'ai du mal à voir la difficulté du critère des séries alternées. Mais chacun a ses difficultés...
Merci en tout cas !

Magnéthorax · May 2022

Aparté-devinette : comment justifier, au niveau 4ème, la règle des signes ? Je ne parle pas forcément de démonstration.

Dom · May 2022

Difficile sans savoir de quoi on part comme acquis.

Cela dit : « b-a » est le seul nombre qui ajouté à a vaut b doit fonctionner pour tout.

Avec tout de même la commutativité pour + et $\times$. Tiens est-ce que ça suffit la commutativité ?

Magnéthorax · May 2022

@Dom : je pensais principalement à la distributivité.

troisqua · May 2022

Sinon, on peut aussi montrer, en posant $S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}u_{k}$ que pour tout $p$ naturel, et tout naturel $n$
\[\left|S_{n+p}-S_{n}\right|\leqslant u_{n}
\] qui montre que $S_{n}$ est de Cauchy donc converge, puis donne l'inégalité souhaitée en prenant $p\to+\infty$.