Intégrale
Bonjour
Soient $a>0 ,\ b>-1$
Montrer que
$$\int_{0}^{1} x^b\Big(\frac{1}{\ln(x)} - \frac{a}{1-x^a}\Big)^2 dx = \frac{a}{2} -2(1+b)+a\ln(2\pi) +(1+b)\ln\Big(\frac{1+b}{a}\Big) -2a\ln\Big(\Gamma(\frac{1+b}{a})\Big) +(1+b-a)\frac{\Gamma’(\frac{1+b}{a})}{\Gamma(\frac{1+b}{a})}.$$
Merci.
Soient $a>0 ,\ b>-1$
Montrer que
$$\int_{0}^{1} x^b\Big(\frac{1}{\ln(x)} - \frac{a}{1-x^a}\Big)^2 dx = \frac{a}{2} -2(1+b)+a\ln(2\pi) +(1+b)\ln\Big(\frac{1+b}{a}\Big) -2a\ln\Big(\Gamma(\frac{1+b}{a})\Big) +(1+b-a)\frac{\Gamma’(\frac{1+b}{a})}{\Gamma(\frac{1+b}{a})}.$$
Merci.
Réponses
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Mmh ! Apétissant !
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Faire le changement de variable $x=e^t$ et utiliser les représentations par intégrales des fonctions $\ln$ et digamma $\psi = ( \ln(\Gamma))'$ https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function#Integral_representations.
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Bonjour!
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