o-minimalité

sasaki93 · May 2022

Bonjour à toutes et tous

En faisant du tri dans mes cours d'université hier, je suis tombé sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Voici l'exercice.

Soit $\mathcal{M} = (M, <, \ldots)$ une structure où $<$ est un ordre total, dense et sans extrémités.

On considère les propriétés ci-dessous.

(1) Pour tout $A \subseteq M$ définissable, si $A$ est infini alors $A$ contient un intervalle.

(2) Pour tout $A \subseteq M$ définissable, si $A$ est majoré alors $\sup A \in M$.

Je cherche à montrer que ces deux propriétés impliquent que $\mathcal{M}$ est $o$-minimale mais je n'y arrive pas.

Voici ce que j'ai fait pour le moment.

Soit $A$ un ensemble définissable. Si $A$ est fini alors $A$ est une union finie de points donc il n'y a rien à dire.

Sinon, d'après la propriété (1), $A$ contient un intervalle $I_1$. Considérons alors $A_1 = A \setminus I_1$ qui est encore définissable. De deux choses l'une. Ou bien $A_1$ est fini ou bien $A_1$ est infini. Si $A_1$ est fini alors c'est... fini, $A$ est l'union finie d'un intervalle $I_1$ et des points de $A_1$. Si $A_1$ est infini alors on recommence comme précédemment : d'après la propriété (1), $A_1$ contient un intervalle $I_2$, et on considère $A_2 = A_1 \setminus I_2$ puis on regarde si $A_2$ est fini ou infini etc.

Problème : a priori, il n'y a aucune raison que ce processus s'arrête, autrement dit, il n'y a aucune raison a priori qu'il existe un entier $k$ tel que $A_k$ soit fini. J'ai donc essayé d'utiliser la deuxième propriété pour montrer l'existence d'un tel entier $k$ mais je n'y arrive pas. Par conséquent, je me demande si mon raisonnement initial est un bon point de départ.

Merci d'avance de votre aide.

PS1. Je précise que cela fait maintenant des années que je n'ai pas fait des maths post-bac et que je suis complétement rouillé.

PS2. Je rappelle quelques définitions rapidement ci-dessous.

Un ensemble $A\subseteq M$ est définissable s'il existe une formule du premier ordre $F$ tel que $m \in A$ si, et seulement si $F(m)$ est vraie.

$\mathcal{M}$ est $o$-minimale si tout ensemble définissable est une union finie de points et d'intervalles.

Calli · May 2022

Bonjour,
Il me semble qu'on peut partitionner $A$ en intervalles maximaux (éventuellement réduits à un singleton). S'ils sont en nombre fini, c'est bon. Sinon, en utilisant (2) je crois qu'on peut définir à partir de cette partition un ensemble contredisant (1).

sasaki93 · May 2022

Bonjour

Je te remercie pour ta réponse. Cependant, j'ai l'impression que ton indication correspond peu ou prou à ce que j'essayais de faire sans y arriver malheureusement.

Calli · May 2022

La différence est que je prends tous les intervalles maximaux d'un coup, alors que tu tirais des intervalles pas forcément maximaux, et un à la fois.
Pour être plus clair sur ce que j'entends par "intervalles maximaux" : ce sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence $\sim$ définie sur $A$ par $x\sim y$ ssi ($x\leqslant y$ et ${]x,y[}\subset A$) ou ($y\leqslant x$ et ${]y,x[}\subset A$).
Dans quelle mesure peut-on dire que les intervalles maximaux de $A$ sont majorés ? Quand on applique (2) à chacun de ces intervalles majorés qu'obtient-on ?

sasaki93 · May 2022

"Dans quelle mesure peut-on dire que les intervalles maximaux de A sont majorés ?"

On peut supposer que tous les intervalles maximaux dans la partition de A sont majorés car s'il y en a un de la forme $I = [a ; + \infty[$ (ou $I = ]a ; +\infty[$) alors on s’intéresse uniquement à $A \setminus I$ qui ne contient que des intervalles majorés (et des points) dans la partition. Si on arrive à montrer que $A \setminus I$ est une union finie de points et d'intervalles alors ce sera également le cas de $A$ : il suffit d'ajouter l'intervalle $I$ à l'union. C'est bien ça ?

"Quand on applique (2) à chacun de ces intervalles majorés qu'obtient-on ?"

Là je bloque. Je suppose donc que $A$ est une union infinie d'intervalles majorés et de points et je cherche à voir qu'en fait l'union doit être finie. Chacun des intervalles me donne un élément de $M$ (le sup). Cela me donne un ensemble infini $X$ d'éléments de $M$. Alors j'ai envie d'utiliser la propriété (1) et de dire que $X$ contient un intervalle ce qui est absurde. Problème : $X$ n'a aucune raison d'être définissable donc a priori je ne peux pas utiliser la propriété (1) sur $X$.

GaBuZoMeu · May 2022

Bonjour

Que penses-tu de

$$\{x\in M\mid (\exists y\ (y<x\text{ et } \left]y,x\right[\subset A))\text{ et }(\forall z\ (z>x\Rightarrow \left[x,z\right[\not\subset A))\}$$

sasaki93 · May 2022

Bonjour GaBuZoMeu et merci pour votre réponse.

Si je comprends bien $\{x\in M\mid (\exists y\ (y<x\text{ et } \left]y,x\right[\subset A))\text{ et }(\forall z\ (z>x\Rightarrow \left[x,z\right[\not\subset A))\}$ est exactement l'ensemble $X$ donc j'ai parlé dans mon message de 14h42 https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2355297/#Comment_2355297

Vu sous cet angle, il est clair que $X$ est définissable et donc mon raisonnement de 14h42 sur cet ensemble fonctionne bien.

C'est ça ?

GaBuZoMeu · May 2022

Oui, cet ensemble est fini car il ne peut pas contenir d'intervalle et donc ...

Calli · May 2022

@sasaki93 : Pour ta réponse à la première question, dans le message de 14h42, c'est ça. 👍

sasaki93 · May 2022

Merci Calli.

@GaBuZoMeu.

Et bien si $X$ est définissable et infini alors d'après la propriété (1) il contient un intervalle. C'est absurde. Donc, cet ensemble n'est pas infini. Donc $A$ est bien une union finie d'intervalles et de points. Et la preuve est terminée. Où alors j'ai raté quelque chose ?