Démonstration critère des séries alternées
Bonsoir,
Je bloque sur la fin de la démonstration. Je ne comprends plus rien dans le passage encadré, pourquoi on a $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ ?
Pourquoi l'axe est orienté vers la droite si $n$ est pair ?
Pourquoi $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$ ?
Pourquoi $S$ est du signe de $u_0$ ?
Je bloque sur la fin de la démonstration. Je ne comprends plus rien dans le passage encadré, pourquoi on a $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ ?
Pourquoi l'axe est orienté vers la droite si $n$ est pair ?
Pourquoi $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$ ?
Pourquoi $S$ est du signe de $u_0$ ?
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Réponses
Prends des exemples simples et travaille.
Choisis ton exemple et vois ce qui se passe.
Le résultat que je connais sur les suites adjacentes est que $S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n}$. Mais après je ne comprends pas les histoires de parité ni pourquoi $S_n \leq S \leq S_{n+1}$.
Je ne vois pas comment je peux prendre un exemple simple car je ne connais pas les valeurs des sommes de séries alternées, je découvre les séries alternées. J'ai l'impression que tu prends la somme $\sum (-1)^n / 2^n$ mais je ne connais pas sa limite.
Je n'ai pas compris comment on montre dans le cas général que $S$ est comprise entre $S_n$ et $S_{n+1}$ ni l'histoire de la parité de $n$.
Raconte tout ce que tu sais sur les séries adjacentes. Ecris tout ça, à l'endroit, à l'envers, quelles sont les propriétés nécessaires, les propriétés suffisantes etc etc. Tout ce qui te passe par la tête sur le sujet.
Quand tu auras bien fait le tour de tout ce que tu sais sur les séries adjacentes, si tu peines encore, c'est que c'est sans espoir.
@Dom ok merci c'est plus clair.
@lourran
Je viens de comprendre le : "l'axe des réels est orienté vers la droite si $n$ est pair."
Si le $n$ est pair alors $S_{n+1} \leq S \leq S_n$ c'est logique car on ajoute un nombre négatif et si $n$ est impair on a $S_n \leq S \leq S_{n+1}$ c'est logique on ajoute un nombre positif.
2 heures plus tard, tu as modifié ton message, probablement pour ajouter : 'Je viens de comprendre ... '
Et donc, tu viens de comprendre que ta phrase 'il existe $n$ tel que ...' , elle reflète très mal l'histoire dont on parle.
Enfin, j'espère.
Tu as l'habitude de modifier tes messages. C'est très désagréable sur un forum.
Si au moins tu mettais ton message initial, puis un mot comme 'Edit :' pour signaler que la suite du message a été ajoutée 2 heures plus tard.
Tu dis qu'on ajoute un nombre négatif dans tel ou tel cas. Ce nombre négatif justifie que $S_{n+1}$ est plus petit que $S_n$, mais ça n'explique pas pourquoi $S$ serait entre ces 2 nombres.
Pour un lycéen normal, qui aurait montré qu'il maitrise la situation, on lui ferait confiance, on ne lui demanderait pas de montrer cette évidence. Mais tu as tellement répété que ce n'est pas évident, qu'on est en droit de te demander de justifier cela.
J'ai toujours conseillé à mes élèves de faire, pour un exemple numérique donné, la figure correspondante ; n'oublions pas que le signe de $v_n$ joue aussi sa petite musique.
En plus, remplacer $n$ par $2n$ lorsqu'il est pair (ce qui se trouve au-dessus du texte encadré) est, à mon sens, une mauvaise idée : il faut l'appeler $2p$ dans ce cas.
Seule consolation : nous avons échappé aux notations telles que $\lfloor n/2 \rfloor$.
@lourrran je n'ai rien modifié je ne sais pas montrer qu'il existe $n \in \N$ tel que : $S$ est compris entre $S_n$ et $S_{n+1}$ ...
Ni pourquoi si $| R_0 | \leq u_0$ alors $S=u_0 + R_0$ est du signe de $u_0$.
Je pense qu'il faut s'intéresser à $R_{n+1}-R_n$
@gerard0 non c'est au programme de maths spé. Au lycée, les élèves n'y comprendraient rien aux séries alternées.
@math2 merci je vais essayer d'examiner en détail tes indications et faire une preuve rigoureuse.
Premier cas : $u_0 \geq 0$. Donc $u_1 <0$. Tous les termes d'indices pairs sont donc positifs.
La suite $(S_{2p})$ est croissante, la suite $(S_{2p+1})$ décroissante et $S_{2p}-S_{2p+1}= - u_{2p+1} \geq 0$ et la différence tend vers $0$.
Les suites $(S_{2p})$ et $(S_{2p+1})$ sont adjacentes.
Montrons que $\boxed{S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}}$. C'est là où je bloque... Je ne vois pas comment démontrer ce résultat.
Premier cas : $u_0$ est positif donc tous les termes d'indice pair sont positifs et ceux d'indice impair négatifs.
On a $S_{2p+2}-S_{2p}= u_{2p+2}+u_{2p+1} $ et par décroissante de la suite $(u_n)$ on a $(S_{2p})$ décroissante. De même on montre que $(S_{2p+1})$ est croissante.
La limite de la différence tend vers $0$ donc elles sont adjacentes et convergent vers la même limite $S$.
Montrons que $S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}$.
Montrons que $S_{2p+1} \leq S_{2p}$. On a $S_{2p}- S_{2p+1}=-u_{2p+1} \geq 0$ d'où le résultat.
Mais je n'arrive toujours pas à montrer que $S_{2p+1} \leq S \leq S_{2p}$.
Un bon élève de 2nde pourrait découvrir les théorèmes en question par lui même, s'il s'intéressait à la question : que se passe-t-il si j'ajoute des nombres, alternativement positifs et négatifs, de plus en plus petits en valeur absolue.
Ohhh, les termes de rangs pairs sont décroissants, ohhh, les termes de rangs impairs sont croissants, Ohhh, les 2 séries de nombres se rapprochent de plus en plus d'un nombre... tiens, ce nombre, je vals lui donner un nom, je vals l'appeler la limite.
Et Ohhh, je constate que systématiquement, mes 2 termes sont de part et d'autres de la limite.
Bien entendu, si l'élève en question a une connexion internet, sa créativité est immédiatement effacée, il ne peut plus réfléchir, et il ne va rien découvrir.
Mais si on le prive d'internet, si on lui donne une feuille de papier et un crayon, il découvre tout ça en moins de 2 heures.
oui, un bon élève de seconde a tous les éléments en main pour 'découvrir' que telle sous-suite est croissante, telle autre est décroissante, il ne saura probablement pas mettre le mot 'adjacente', mais il pourra découvrir que les 2 sous-suites se rapprochent de plus en plus l'une de l'autre, en alternant, toujours de part et d'autre d'un nombre magique, la limite.
Pas un génie, pas un élève exceptionnel, simplement un élève qui aime les maths.
Théorème Spécial à Certaines Séries Alternées
Moi-même, je me suis déjà surpris à dire « le théorème des séries alternées » et me faire la réflexion que le mot « spécial » était pédagogique.
J'ai cherché plusieurs cours sur le net le résultat est donné sans démonstration.
Je connais le théorème de la limite monotone par cœur. Je ne vois pas en quoi il aide à montrer que la limite est coincée entre les deux suites.
Tu oublies tous les cours de sup (ça devrait pas être trop dur), et tu essaies de te mettre dans la tête d'un élève de seconde. Il a toutes les connaissances pour résoudre cet exercice.