Polynôme minimal
Réponses
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Bonsoir,
Merci OShine, ça me fournit ma dose de rire pour m'endormir.
Cordialement,
Rescassol
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Le deuxième encadré est expliqué après le "car".Sinon, la présentation est un peu curieuse car elle pose une définition sous la forme qui sous-entend que l'objet existe, et son existence est signalée juste après. Voici un argument possible (je te donne juste de quoi partir). $L(E)$ est de dimension finie. Que dire alors de la famille $\{id,u, u^2, \ldots, u^N\}$ pour $N$ assez grand ?
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Merci oui c'est expliqué après le "car" mais je ne vois pas le rapport entre ce qui est après le "car" et le degré du polynôme minimal supérieur à $1$.
Pourquoi si $P(u)= \lambda id_E \ne 0$ alors $\deg \pi_u \geq 1$ ? C'est où qu'on utilise $\dim E \ne 0$ dans le raisonnement ?
Si on note $\dim E=n$ alors $\dim L(E)= n^2$ donc la famille $(id, u, \cdots, u^{n^2})$ est liée car elle contient $n^2+1$ éléments.
Donc il existe des scalaires non tous nuls $(a_0, \cdots, a_{n^2})$ tels que $a_0 id + a_1 u + \cdots + a_{n^2} u^{n^2}=0$
Le polynôme $P(X)=a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n^2} X^{n^2}$ est annulateur de $u$ et non nul.
Mais pourquoi dans la proposition 54. 1 on ne donne pas la condition $E$ non nul ?
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Si $P(u)\neq 0$ alors $P$ n'est pas un polynôme annulateur de $u$.
Quel est le degré d'un polynôme constant non nul ?
Que se passe-t-il si $E$ est de dimension $0$ ? -
Surtout que c'est une hypothèse (le "non nulle") non nécessaire, la preuve ça t'embrouille.
Le polynôme minimal existe toujours en dimension finie même nulle. Tu peux vérifier que si E est de dimension nulle, alors l'unique endomorphisme de E (à quoi est-il égal ?) admet comme polynôme minimal 1. -
Si $\dim(E)=0$, $Id_E=\tilde{0}$. Donc, lorsque l'on affirme que $\lambda Id_E\neq \tilde{0}$, on utilise bien le fait que $\dim(E)\geq 1$.Pour ce qui est de la proposition 54.1), la démo que tu as faite marche très bien avec $n=0$... donc il est inutile d'exclure ce cas.Maintenant, pour répondre à ta toute première question, les réponses sont fournies dans les deux photos que tu as données. Il suffit d'appliquer les théorèmes qui sont écrits précédemment !
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@Philippe Malot le degré d'un polynôme constant non nul est $0$.
Si $E$ est de dimension $0$, alors $u=0$ .
Montrons que si $E=\{ 0\}$ alors $\pi_u =1$. Prenons $P(X)=1$. Alors $P(u)=id_E =0$ donc $\pi_u \mid 1$. Ainsi $\pi_u = \pm 1$ mais $\pi_u$ est unitaire par définition donc $\pi_u =1$.
@bisam
Merci mais je n'arrive pas à comprendre l'implication $P(u)= \lambda Id_E \ne 0 \implies \deg \pi_u \geq 1$... -
Tu oublies la quasi totalité des quantificateurs de ton implication, c'est pour cela que tu ne comprends pas.Ce qui est dit dans ton livre, c'est : $\forall P\in\mathbb{K}[X], \forall \lambda\in\mathbb{K}^*, (P=\lambda) \Rightarrow (P(u)\neq \tilde{0})$, autrement dit, aucun polynôme constant non nul n'est annulateur de $u$. Par conséquent, le polynôme minimal en particulier ne peut pas être constant.
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Ca sert à pouvoir dire qu'une homothétie de E possède une unique valeur propre par exemple.
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D'accord merci.
Si $u(x)= \lambda x $ alors $\lambda$ est valeur propre de $u$ associé au vecteur propre $x \ne 0$ mais si $E= \{ 0\}$ on ne peut pas parler de vecteur propre car $\forall x \in E \ x=0$. -
En dimension 0, il se passe des choses curieuses.Il n'y a pas de vecteurs propres donc pas de valeurs propres. Cependant, tout endomorphisme est diagonalisable !Les matrices à 0 ligne et 0 colonne sont faciles à écrire mais pénibles à lire.L'intérêt du polynôme caractéristique et du polynôme minimal, qui sont toujours égaux dans ce cas, est plutôt limitée... mais il reste vrai que la trace de tout endomorphisme est égal à la somme des racines du polynôme caractéristique comptées avec multiplicité et le déterminant égal à leur produit.Bref, ce n'est pas indispensable de l'exclure, mais c'est quand même plus courant de ne considérer que des espaces non réduits à ${0}$ car il ne s'y passe pas grand chose !
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Comment on sait que tout endomorphisme est diagonalisable si $E=\{0 \}$ ?
Soit $u \in \{0 \}$ canoniquement associé à $M$ alors $\chi_M (X)= \det (X I_n-M)=\det(X I_n)= X^n =X^0 =1$. Donc $\pi_u =1$.
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OShine a dit :Comment on sait que tout endomorphisme est diagonalisable si $E=\{0 \}$ ?Que connais-tu comme endomorphisme de l'espace nul ?Qu'est-ce qui l'empêcherait d'être diagonalisable ?PS pour la modération : ce n'est pas une recopie in extenso du message ci-dessus, c'est une citation, ce qui permet de suivre plus aisément le fil de la discussion. Merci d'avance.
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Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$.
Seul l'endomorphisme nul appartient à l'espace nul, mais il n'y a aucune vecteur propre dans $\{0 \}$ donc c'est impossible.
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Une base de vecteur(s) propre(s) de $E$ est une partie $B$ qui est une base de $E$ telle que $\forall e, e\in B\implies (f(e),e)$ est liée.Si $\emptyset$ n'était pas une base de vecteur(s) propre(s) de $\{0\}$ alors il existerait $e$ tel que $e\in \emptyset$ et $(f(e),e)$ libre, ce qui est faux. Donc $\emptyset$ est une base de vecteur(s) propre(s) de $\{0\}$ donc $f$ diagonalisable.
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$f$ est annulé par $X$ scindé à racine simple.
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Et le polynôme constant $1$ est aussi scindé à racines simples
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@troisqua merci très subtil comme raisonnement. Il faut se souvenir que $\{ 0 \} = Vect \emptyset$ et qu'une base de l'ensemble réduit à 0 est l'ensemble vide.
@JLapin
@gai requin
C'est vrai que c'est plus simple avec le polynôme annulateur scindé à racines simples.
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"Il faut se souvenir que .." Pourquoi toujours se souvenir ? Pourquoi ne pas penser directement, seul ? Tu n'es pas un robot !
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