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Factorisation de polynômes en deux variables

Bonjour, me revoilà. J'ai trouvé une méthode pour factoriser les polynômes en deux variables de n'importe quelle classe, comme celle-ci.

Je ne sais pas si d'autres méthodes sont connues. Merci beaucoup en avance..
Un bonjour du Chianti..
Fibonacci82498

Réponses

  • Bonjour
    Factoriser des polynômes à plusieurs variables à coefficients dans une extension explicite de $\Q$ ? Oui, il y a des méthodes, plusieurs méthodes. Cela a commencé par un gars qui s'appelle Kronecker (Leopold de son petit nom), 1823-1891.
    Que lire ? Allez, j'en prends un au hasrd : Modern Computer Algebra de Joacchim von zur Gathen & Jürgen Gerhard, Cambridge University Press, première publication en 1999.

    PS : je ne détaille pas ce que signifie extension explicite de $\Q$.
  • Merci beaucoup: sur le fait qu'il existe des méthodes, je n'avais aucun doute, mais je Je ne l'ai pas vu dans aucun livre pour les lycées. Je voudrais savoir comment le polynôme que j'ai présenté avec l'une des méthodes connues se décompose.
    a+

    Fibonacci

    P.S:La méthode que j'ai trouvée convient aux étudiants d'une troisième classe
  • Je viens de décomposer ce polynôme: j'aimerais beaucoup le voir factorisé avec une autre méthode.
    Merci d'avance

    a+
    Fibonacci.82500
  • Heu ... tu ne montres pas tes factorisations, et tu ne dis pas quelles contraintes tu as sur les facteurs, donc pour l'instant, ça ressemble plus à une demande "factorisez-moi ça".

    Cordialement.
  • Vous avez parfaitement raison, mais je n'ai pas envie de révéler une procédure qui me rend très heureux avant de la publier. Quelqu'un pourrait lire et s'approprier mon idée. Je ne pense pas qu'il soit trivial de décomposer un tel polynôme..
    Merci
    a+
    Fibonacci
    P.S.J'habite dans les collines toscanes entre Pise et Sienne et je n'ai aucun contact avec aucun mathématicien. Parfois, je trouve des résultats qui semblent intéressants, mais je ne suis pas en mesure de juger de leur intérêt éventuel. Ce forum est vraiment fantastique.
  • $(3x+4+y)(2x-1+y)(2x-4+y)(x+1-y)(x+2-y)$

    Essaie de factoriser:
    \begin{eqnarray*}
    20x^4y^4+68x^3y^5+32x^2y^6-28xy^7-12y^8+20x^7+68x^6y+32x^5y^2-23x^4y^3\\
    +21x^3y^4-100x^2y^5-3xy^6+73y^7+16x^6-93x^5y+55x^4y^2+104x^3y^3-44x^2y^4+\\
    144xy^5-137y^6-x^5+147x^4y-245x^3y^2+11x^2y^3+10xy^4+77y^5-107x^4\\
    +95x^3y+89x^2y^2-137xy^3+14y^4-37x^3-23x^2y\\
    +123xy^2-63y^3+19x^2-161xy+117y^2+72x-87y+18
    \end{eqnarray*}
  • Fibonacci écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1745392,1745416#msg-1745416
    > P.S. La méthode que j'ai trouvée convient aux étudiants d'une troisième classe

    En France, les polynômes à plusieurs variables ne sont définis qu'en première année d'université.
  • @Fibonacci: Personnellement, je ne sais pas ce que "factoriser" veut dire...il faut préciser le corps (ou l'anneau) dans lequel on factorise.

    Par exemple, que donnes ta méthode pour $x^5-xy^4-y^5$ ?
  • Fibonacci a écrit:
    Vous avez parfaitement raison, mais je n'ai pas envie de révéler une procédure qui me rend très heureux avant de la publier. Quelqu'un pourrait lire et s'approprier mon idée. Je ne pense pas qu'il soit trivial de décomposer un tel polynôme..

    Quel est ton but en venant sur ce forum si ce n'est pas indiscret comme question?


    Si ce qu'on cherche est un truc du genre $\prod_{i=1}^n (a_ix+b_iy+c_i)$ avec tous les coefficients sont des entiers.

    Si on fait $x=0$ on se retrouve avec un polynôme à une seule variable $y$ qu'on peut factoriser.
    Si on fait $y=0$ on se retrouve avec un polynôme à une seule variable $x$ qu'on peut factoriser.


    il me semble que cela ne devrait pas être trop difficile de déterminer les coefficients manquants (les $c_i$)

    Préalablement on cherche le nombre de facteurs en faisant $x=y$ le degré du monôme de plus haut degré indique le nombre de facteurs. Dans l'exemple de Joaopa s'il est du type mentionné ci-dessus on peut s'attendre à avoir 8 facteurs.
  • Fin de partie écrivait :
    > Dans l'exemple de Joaopa s'il est du type mentionné ci-dessus on peut s'attendre à avoir 8 facteurs.

    Il n'est pas factorisable (sur $\mathbb C(X)$) en facteurs du premier degré.
  • Fin de partie écrivait :
    > Quel est ton but en venant sur ce forum si ce n'est pas indiscret comme question ?

    Venir nous expliquer que c'est un génie isolé et incompris qui a trouvé une super méthode pour factoriser des polynômes en deux variables.
  • J'ai trouvé une méthode pour factoriser les polynômes, j'ai cherché Intenet et je n'ai rien trouvé de semblable. Connaissant dans ce forum des personnes compétentes et gentilles, j’ai demandé des informations pour connaître les méthodes connues. Tout ici.
    Je vis loin des écoles, des institutions, etc. Internet est la seule méthode pour échanger des idées…
    A+

    Fibonacci
  • Bonjour.

    Comme beaucoup de gens prétendent avoir trouvé des propriétés mathématiques nouvelles mais ne veulent pas révéler leur preuve ou méthode, et que c'est quasiment toujours faux, ne sois pas étonné de notre méfiance. Sans révéler ta méthode, tu peux l'appliquer à :
    $21x^4+32x^3y+21x^3+16x^2y^2+32xy^3+21xy^2+273x^2+416xy+273x+35yx^2-5y^4+35y^3-65y^2+455y$
    et nous donner le résultat.
    Puis tu traiteras l'exemple de Joaopa, et nous diras ce que tu trouves.

    Il est évident que si tu ne fais pas ça, on concluras tous que c'était du pipeau.
    Cordialement.
  • = $(7 x - y + 7) (3 x + 5 y) (x^{2} + y^{2} + 13)$
  • @Fibonacci: moi, j'attends toujours une réponse à ma question. Tu factorises sur quel corps de base , et qu'obtiens-tu pour $x^5-xy^4-y^5$ ?
  • Robusta,

    tu es vraiment ridicule ! Bien sûr, on sait factoriser ce polynôme, et n'importe quel logiciel de calcul formel donne le résultat (d'ailleurs c'est ce que tu as fait (td) ) en quelques micro-secondes. La question était posée à Fibonacci, tu l'empêches bêtement de répondre.
    Encore une intervention malséante de ta part !!
  • @Coucou Fibonacci
    C'est sympa le forum comme lieu d'échanges, tu ne trouves pas ? Je vais répondre à ma manière.
    D'abord, je devrais t'eng.euler pour avoir envoyé un polynôme sous le format .jpg. Il est bien préférable que l'échange se fasse via du raw-text, par exemple (ne cherche pas à le factoriser, ce n'est pas le but).
    [color=#000000]
    X^11 - 7*X^10 + 10*X^9 + 30*X^8 - 75*X^7 - 51*X^6 + 192*X^5 + 60*X^4 - 240*X^3 - 80*X^2 + 128*X + 64
    [/color]
    
    En tout cas, avec moi. Pourquoi ? Parce que. Point. Je peux t'assurer qu'à l'époque si un(e) étudiant(e) (ou un(e) collègue) m'avait envoyé une telle demande sous un format type .jpg, il l'aurait fait une fois mais pas deux.

    Mais essayons d'aller plus au fond du sujet. Tu es un amateur (ce n'est pas du tout péjoratif), cela se voit (tu as parlé de regarder sur Internet ..etc..) et d'ailleurs je pense que tu l'as mentionné (ce côté amateur).

    Ma question principale : où veux tu en venir ? Ce n'est peut-être pas facile de t'expliquer à cause de la langue (quand je vais à l'étranger, je fais moins le malin).

    Tu dois absolument comprendre que des professionnels se sont attelés depuis longtemps au problème de factorisation. La mention de Kronecker dans mon post d'hier n'était pas du tout une boutade. Et le livre au hasard que j'ai mentionné (Modern Computer Algebra) n'est pas (comme son nom l'indique) dédié à la factorisation ; il contient cependant une partie de 150 pages sur la factorisation (c'est un gros livre d'environ 800 pages). Et on comprend rapidement que de nombreuses méthodes sophistiquées ont été mises au point depuis plus de 70 ans.
    Et des livres sur le thème de la factorisation, il y en a beaucoup.

    En passant, disposes-tu d'un système de Calcul Formel ? J'ai cru comprendre que peut-être tu faisais à la main avec les petits ?
    Bref, c'est une super bonne idée de t'amuser dans ton coin isolé à factoriser des polynômes, surtout si ce n'est pas ton métier. Et donc tu devrais, si je peux me permettre, envisager les échanges sous un autre angle. On a l'impression que tu veux garder ta trouvaille pour la publier. Là je pense que tu te fais des idées (sauf si c'est pour publier dans un truc local).

    Peut-être essayer, si tu en as envie, d'expliquer ce que tu as fait et ce dont tu es fier (ce qui me semble normal). Mais si tu continues à jouer à un jeu pas clair, méfie toi. Parce que le forum, c'est parfois la jungle et certains (y a pas que des marrants ici) vont te tomber dessus à la vitesse de l'éclair.

    A toi de voir et de dire. Bon courage à toi.
  • @gerald, bonjour, tu écris
    "Sans révéler ta méthode, tu peu l'appliquer à....et nous donner le résultat"

    Le résultat ainsi donné par un calculateur ne te permettra pas de conclure sur la façon dont l'auteur de la réponse correcte s'y est pris, sauf si les tests sur wolfram ou autres se révèlent incapables de trouver la factorisation.
    C'est à dessein donc que j'ai livré ce résultat, non pour embêter qui que ce soit, ce qui n'est pas ma tasse de thé, mais parce qu'il ne prouve rien .

    "Encore une intervention malséante de ta part !!" Tu peux m'éclairer ?
  • J'ai aussi celle de Joaopa, mais j’obéis pacifiquement à Gerard0 :-)
  • Salut, je ne suis pas un amateur. A l'époque, j'ai enseigné dans les lycées et j'ai publié. Pour diverses raisons, j'ai abandonné les mathématiques et je me suis rétabli quelques années plus tard. J'ai trouvé des résultats que je n'ai pas vus dans des ouvrages tels qu'une formule de trisection précise jusqu'à la dixième décimale. Il est clair que je ne peux pas montrer ma méthode avant de l'avoir publiée. En accord avec cela, même sur Internet, je ne publie que des résultats corrects. Voir par exemple ce que j'ai publié sur la généralisation de arctan1 + arctan2 + arctan3 = pi. J'ai également trouvé une formule de bissection qui vous permet de calculer immédiatement le tan x / 2 sachant tan x (sans avoir à calculer le sinus ou le cosinus): je ne peux pas le publier car il fait partie d'un travail non publié mais je peux l'envoyer par courrier privé. Ce n’est certes pas une découverte mathématique, mais trouver des formules de trigonométrie inédites n’est pas facile, merci beaucoup pour votre gentillesse et votre coopération.
    Pouvez-vous m'expliquer pourquoi il n'était pas bon de présenter une formule dans l'image et que dois-je faire?
    P.S: Je parle français couramment mais je ne l'écris jamais, je m'excuse pour les erreurs.82562
  • @Fibonacci: pour la troisième fois**, peux-tu répondre à ma question ?Tu factorises sur quel corps de base , et qu'obtiens-tu pour $x^5-xy^4-y^5$ ?
  • Fibonacci,

    le format image oblige le lecteur qui veut retravailler avec l'expression à le copier à la main, avec les erreurs de copie comme risque. Il est possible, sur le forum, d'écrire de belles formules en LaTeX, en les mettant entre deux $\$$. Comme on peut ensuite récupérer le code LaTeX en reprenant le message par "citer" ou en cliquant droit sur la formule, pas d'erreur de copie.

    Cordialement.
  • Je vous remercie beaucoup. Je m'excuse, mais je ne suis pas très pratique. J'ai repris le calcul après plus de 10 ans d'inactivité (je suis à la retraite). Au cours de ces dix années, j'ai oublié beaucoup de choses et je me remets lentement. Je suis heureux des résultats que je trouve moi-même (même s'ils sont probablement déjà connus). Les commentaires sur ce forum sont très utiles et je vous en remercie.
    a+
    Fibonacci
  • Je suis désolé je n'ai pas vu le message. Je vais faire les courses, je te répondrai plus tard. Merci beaucoup pour votre intérêt.
    a+
    Fibonacci
  • Bonjour,

    Si vous faites un produit de n polynômes de premier degré, vous obtenez un polynôme de degré n. Avec ma méthode je trouve les polynômes de premier degré. Les coefficients sont des nombres rationnels mais pourraient aussi appartenir à Q.
    Le polynôme que vous avez présenté ne peut pas être décomposé en facteurs avec ma méthode.
    a+
  • Fibonacci a écrit:
    J'ai trouvé une méthode pour factoriser les polynômes en deux variables de n'importe quelle classe ....
    Si vous faites un produit de n polynômes de premier degré, vous obtenez un polynôme de degré n. Avec ma méthode je trouve les polynômes de premier degré.
    Tu pensais que tout polynôme à deux variables factorise en facteurs du premier degré ???
  • Bonjour, je m'excuse mais je n'ai plus eu l'occasion de répondre sur le sujet. La méthode que j'ai trouvée, et que je n'ai pas vue dans les livres (mais qui est probablement connue) me permet de factoriser un polynôme si celui-ci contient des facteurs linéaires de type ax + by+ c..Je ne peux pas, par exemple, avec ma méthode, factoriser un polynôme du quatrième degré produit par deux polynômes irréductibles. Je fais référence aux polynômes en deux variables qui peuvent être factorisées en Z, Q ou R. Par exemple, je factorise facilement x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 en R. D'un certain point de vue, je peux être considéré comme un amateur, car j'ai trouvé divers résultats qui je n'ai vu nulle part . je travaille seul, sans consulter de livres ni chercher sur Internet. Sur de nombreux sujets, je dois étudier de nouveau après avoir oublié beaucoup de choses pendant de longues années consacrées à d'autres choses. Ce forum est vraiment brillant et je vous remercie de votre patience et de votre courtoisie.
    À l'époque, je publiais un livre dans lequel je démontrais vectoriellement toutes les formules de trigonometrie trouvées dans les livres du lycée.
    a+

    Fibonacci
  • Modifié (5 May)
    Bonjour il y a quelque temps j'ai écrit un message sur la factorisation d'un polynôme en deux variables comme celui que je présente. La méthode à laquelle j'ai pensée est si simple que je pense qu'il est impossible qu'elle ne soit pas connue. Si quelqu'un est intéressé, je peux la publier. La méthode est élémentaire mais les calculs sont assez longs.
  • Je vois le polynôme mais pas la factorisation.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour,

    $P(x,y)=(x - y + 1)(x - y + 2)(2x + y - 1)(2x + y - 4)(3x + y + 4)$

    Cordialement,
    Rescassol

  • DomDom
    Modifié (5 May)
    Bonsoir
    Je ne connais rien à la théorie.
    Est-ce toujours factorisable ? sur $\mathbb C$ par exemple... ? (en des $ax+by+c$)
  • Bonjour,

    Non, pas du tout, exemple $x^4+y$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • DomDom
    Modifié (5 May)
    Ha oui. 
    Même $x^2-y$ sinon on pourrait factoriser $x^2-2$ sans racine carrée, me dis-je. 🙄🤨 
    Mais est-ce un raisonnement valable…
  • DomDom
    Modifié (5 May)
    J’ai retrouvé ce fil. 
    Peut-être faut-il « concaténer ». 
  • Modifié (5 May)
    Quelle a été la démarche pour arriver cette factorisation ? Merci.
  • Peut-être a-t-il été Sage ou équivalent 😀
  • @Dom : La forme quadratique $x^2-yz$ est de rang $3$ donc ne se factorise pas.
    Donc $x^2-y$ ne se factorise pas.
  • Ha ! Merci. 
    Je ne connais pas cela non plus (le « donc »). 
  • Bonsoir,
    syms x y
    
    P=32-8*x-96*x^2-46*x^3+22*x^4+12*x^5-80*y-14*x*y+87*x^2*y+31*x^3*y-8*x^4*y+62*y^2+42*x*y^2-24*x^2*y^2-13*x^3*y^2-11*y^3-25*x*y^3+3*x^2*y^3-4*y^4+5*x*y^4+y^5;
    Factor(P)
    Cordialement,
    Rescassol

  • Remarque de forme (Hors sujet du fil) : entre les « * » je vois les caractères en gris. Pas vous ?


  • Modifié (5 May)
    Mettons nous dans les mêmes conditions Adrien Romain qu’en 1593 
    http://mathblogger.free.fr/index.php?m=09&y=08&entry=entry080929-085959
    Comment ferait-on pour trouver la factorisation de P seulement papier et crayon. 
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