Filtres sur les entiers naturels et extractrices

Non. Prenons pour $F$ un ultrafiltre ne contenant aucune partie finie. Supposons qu'il existe une telle suite, que l'on pourra supposer injective. Soit $A$ l'ensemble des $\phi_{2n}$ et $B$ l'ensemble des $\phi_{2n+1}$. Les $\phi_{n}$ ne sont pas tous dans $A^c$ à partir d'un certain rang (puisqu'un terme sur deux est dans $A$), donc par hypothèse on a $A^c\notin F$. Comme $F$ est un ultrafiltre, on en déduit que $A\in F$. De même $B\in F$, donc $\emptyset = A\cap B\in F$, contradiction.