Formule 1 entre les rangs de matrices du mercredi soir

etanche · May 2022

$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour
$A,B \in M(n,C)$
Montrer que
$\rg(A-ABA) - \rg(B-BAB) = \rg(A) - \rg(B) $.
Merci.

Niveau X-ENS

JLT · May 2022

Les applications $B:\ker(I-AB)\to\ker(I-BA)$ et $A:\ker(I-BA)\to\ker(I-AB)$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre donc $I-AB$ et $I-BA$ ont même rang.

De plus, $\ker A\subset \mathrm{Im}(I-BA)$ car $\forall x$, $Ax=0\implies x=(I-BA)x$. On en déduit que $\ker A = \ker A_{|\mathrm{Im}(I-BA)}$.

Appliquons le théorème du rang à la surjection $A:\mathrm{Im}(I-BA)\to \mathrm{Im}(A-ABA)$. Il vient $\mathrm{rg}(I-BA)=\mathrm{dim}\,\ker A +\mathrm{rg}(A-ABA)$. De même, $\mathrm{rg}(I-AB)=\mathrm{dim}\,\ker B +\mathrm{rg}(B-BAB)$. La formule demandée s'obtient en soustrayant les deux dernières égalités.

Calli · May 2022

Bravo @JLT.

etanche · May 2022

@ JLT preuve très élégante

JLapin · May 2022

La matrice blocs $\begin{pmatrix} A&AB\\BA&B\end{pmatrix}$ a pour rang $\rg(A)+\rg(B-BAB)$ et aussi $\rg(B)+\rg(A-ABA)$ (par opérations élémentaires).

On doit pouvoir généraliser avec $A\in M_{n,p}(K)$ et $B\in M_{p,n}(K)$ d'ailleurs.