Formule 1 entre les rangs de matrices du mercredi soir — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Formule 1 entre les rangs de matrices du mercredi soir

Modifié (6 May) dans Algèbre
$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour 
$A,B \in M(n,C)$ 
Montrer que 
$\rg(A-ABA) - \rg(B-BAB) = \rg(A) - \rg(B) $.
Merci.

Niveau X-ENS 

Réponses

  • Les applications $B:\ker(I-AB)\to\ker(I-BA)$ et $A:\ker(I-BA)\to\ker(I-AB)$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre donc $I-AB$ et $I-BA$ ont même rang.
    De plus, $\ker A\subset \mathrm{Im}(I-BA)$ car $\forall x$, $Ax=0\implies x=(I-BA)x$. On en déduit que $\ker A = \ker A_{|\mathrm{Im}(I-BA)}$.
    Appliquons le théorème du rang à la surjection $A:\mathrm{Im}(I-BA)\to \mathrm{Im}(A-ABA)$. Il vient $\mathrm{rg}(I-BA)=\mathrm{dim}\,\ker A +\mathrm{rg}(A-ABA)$. De même, $\mathrm{rg}(I-AB)=\mathrm{dim}\,\ker B +\mathrm{rg}(B-BAB)$. La formule demandée s'obtient en soustrayant les deux dernières égalités.
  • Bravo @JLT
  • @ JLT preuve très élégante 
  • Modifié (5 May)
    La matrice blocs $\begin{pmatrix} A&AB\\BA&B\end{pmatrix}$ a pour rang $\rg(A)+\rg(B-BAB)$ et aussi $\rg(B)+\rg(A-ABA)$ (par opérations élémentaires).
    On doit pouvoir généraliser avec $A\in M_{n,p}(K)$ et $B\in M_{p,n}(K)$ d'ailleurs.
  • @ JLapin merci pour cette approche avec les matrices par blocs. 
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!