Filtres sur les entiers naturels et extractrices
Réponses
-
Non. Prenons pour $F$ un ultrafiltre ne contenant aucune partie finie. Supposons qu'il existe une telle suite, que l'on pourra supposer injective. Soit $A$ l'ensemble des $\phi_{2n}$ et $B$ l'ensemble des $\phi_{2n+1}$. Les $\phi_{n}$ ne sont pas tous dans $A^c$ à partir d'un certain rang (puisqu'un terme sur deux est dans $A$), donc par hypothèse on a $A^c\notin F$. Comme $F$ est un ultrafiltre, on en déduit que $A\in F$. De même $B\in F$, donc $\emptyset = A\cap B\in F$, contradiction.
-
J'adore cette réponse ! Je n'ai pas pensé à fabriquer deux ensembles disjoints à partir des $\phi_n$. Merci JLT.
-
Du coup, as-tu un contre-exemple si $F$ possède une base dénombrable ?
-
Si $F$ possède une base dénombrable $(B_n)$, alors on peut choisir par récurrence un élément $\varphi_n\in \cap_{k\leqslant n}B_k \setminus \{\varphi_k\mid k<n\}$.
-
Oui j'ai ça aussi de mon côté, on peut même supposer les $B_n$ décroissants pour simplifier l'expression de la construction. Du coup c'est le caractère "base de filtre dénombrable" qui permet de définir des extractrices.Merci pour tes réponses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres