Rotation dans l'espace
Bonsoir,
Je souhaite écrire la matrice d'une rotation (dans l'espace) dont je connais l'axe et l'angle, je souhaite savoir s'il existe une formule toute faite pour ça.
Par exemple si mon axe est le vecteur k de la base canonique et l'angle pi/2.
Je sais le faire dans un sens ou on calcul la trace qui donne 1+2cos(têta) et en calculant le point fixe on obtient l'axe de rotation mais je ne sais pas le faire dans l'autre sens.
Cordialement, Lorentz.
Je souhaite écrire la matrice d'une rotation (dans l'espace) dont je connais l'axe et l'angle, je souhaite savoir s'il existe une formule toute faite pour ça.
Par exemple si mon axe est le vecteur k de la base canonique et l'angle pi/2.
Je sais le faire dans un sens ou on calcul la trace qui donne 1+2cos(têta) et en calculant le point fixe on obtient l'axe de rotation mais je ne sais pas le faire dans l'autre sens.
Cordialement, Lorentz.
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Réponses
On demande la matrice dans cette même base de la rotation d'axe $\vec{u}$ d'angle donné $\theta$.
Soit $p$ (resp $q$) le projecteur orthogonal d'image (resp noyau) $\R\vec u$, $s : \vec x\mapsto \vec u{\wedge}\vec x$ et $r=p+\cos(\theta)q+\sin(\theta)s$
Alors $r$ est la rotation cherchée. On peut le voir
tout bêtement en prenant une base orthonormée $(\vec u,\,\vec v,\,\vec u_{\wedge}\vec v)$
plus sophistiqué (mais exercice instructif) en cherchant l'adjoint de $r$ ainsi que sa trace.
Pour $\vec x$ normé on a $p(\vec x)=\langle \vec u,\vec x\rangle \vec u,\;q(\vec x)=\vec x-p(\vec x)$ de sorte que les matrices de $p,q,s$
sont d'écriture immédiate ce qui permet d'obtenir, sans calculs (juste un peu de concentration) la matrice demandée
$$R=\begin{pmatrix}
a^2+(1-a^2)\cos(\theta) &ba-ba\cos(\theta)-c\sin(\theta) &ca-ca\cos(\theta)+b\sin(\theta) \\
ab-ab\cos(\theta)+c\sin(\theta) &b^2+(1-b^2)\cos(\theta) &cb -cb\cos(\theta)-a\sin(\theta) \\
ac-ac\cos(\theta)-b\sin(\theta) & bc-bc\cos(\theta)+a\sin(\theta) &c^2+(1-c^2)\cos(\theta)
\end{pmatrix}$$
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Dans mon cas j'ai obtenu une licence de math et je prépare actuellement un master pour devenir prof dans le secondaire.