Loi de groupe

Je ne suis pas sûr de la réponse en général, mais la réponse est oui si $A$ est un anneau commutatif noethérien tel que tout sous-$A$-module de type fini d'un $A$-module libre est projectif (par exemple si $A$ est un corps, ou un anneau principal). 

L'argument n'est pas très compliqué: le point est de montrer que ton groupe $G$ (vu comme un groupe algébrique) admet une représentation fidèle projective de type fini sur $A$ : en effet si c'est le cas, par définition on a une injection $G\to GL(V)$, et puisque $V$ est projective de type fini, une injection $GL(V) \to GL_k(A)$. 

Pour construire ça, on observe que $G$ agit sur $A[t_1,...,t_n] = A[G]$ de la manière suivante : chaque $g\in G$ fournit une application polynomiale $g\circ A^n\to A^n$, donnée par $n$-polynômes $g_i(t_1,...,t_n)$. L'action de $g$ sur $A[t_1,...,t_n]$ envoie $t_i$ sur $g_i$, et est étendue linéairement et multiplicativement. 

Maintenant, l'énoncé est "le sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ engendré par $t_1,...,t_n$ est contenu dans un sous-$A$-module de type fini stable sous l'action de $G$" (*).  

Plus généralement, tout sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ de type fini est contenu dans un sous-$A$-module de type fini stable sous l'action de $G$. On commence par observer qu'il suffit de le prouver pour des sous-modules engendré par un seul élément.

Pour ce cas-ci (disons que l'élément en question est $t_i$, mais ça ne change rien), on observe que l'action de $G$ sur $A[t_1,...,t_n]$ est donné de la manière suivante: $\Delta: A[t_1,...,t_n]\to A[x_1,...,x_n]\otimes_A A[y_1,...,y_n] \cong A[x_1,...,y_n], t_i\mapsto P_i$ suivie de $A[x_1,...x_n]\xrightarrow{ev_g} A$. 

En particulier, si on écrit  $\Delta(t_i) = \sum_j Q_j\otimes R_j$ on voit que $g\cdot t_i = \sum_j Q_j(g) R_j$ est dans le sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ engendré par les $R_j$'s. Il s'ensuit que $\langle g\cdot t_i , g\in G\rangle$ est contenu dans un $A$-module de type fini, et donc, par noethérianité, il est de type fini. 

Cela prouve (*), et donc, par l'hypothèse que j'ai faite sur $A$, cela prouve qu'il y a un sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ projectif de type fini, stable par $G$, et contenant les $t_i$. Appelons le $P$. Alors pour $g\in G$, $g\cdot t_i = P_i(g_1,..., g_n, y_1,..., y_n)$ de sorte que si $g\cdot t_i = t_i$ pour tout $i$, alors $P_i(g_1,...,g_n,y_1,...,y_n) = y_i$ pour tout $i$ et tout $y$, de sorte que $g\circ y = y$, et donc $g =$ le neutre de $G$. Donc $G\to GL(P)$ est injectif, et on peut conclure.