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Loi de groupe

Modifié (5 May) dans Algèbre
Bonjour,
Soit $A$ un anneau, $n$ un entier non nul, $G=A^n$, et $\circ$ une loi de groupe sur $G$. On suppose qu'il existe des polynômes $P_1, \ldots, P_n$ à coefficients dans $A$ à $2n$ variables $x_1, \ldots, x_n,y_1 \ldots, y_n$, tels que $\deg P_j \leq 2$ (le degré total), $\deg_{x_i} P_j \leq 1$, et $\deg_{y_i} P_j \leq 1$, et tels que pour tout $x=(x_1, \ldots, x_n) \in G^n$, et tout $y=(y_1, \dots, y_n)$, $x \circ y=(P_1(x_1, \ldots, y_n), \ldots, P_n(x_1, \ldots, y_n))$.
1) Est-ce qu'alors $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_k(A)$ pour un certain $k$ ?
2) Est-ce que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_k(A)$, l'isomorphisme étant une fonction affine $\phi: G=A^n \rightarrow M_k(A)$, telle que $\phi(G) \subset GL_k(A)$ et $\phi(x \circ y)=\phi(x) \cdot \phi(y)$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Je ne suis pas sûr de la réponse en général, mais la réponse est oui si $A$ est un anneau commutatif noethérien tel que tout sous-$A$-module de type fini d'un $A$-module libre est projectif (par exemple si $A$ est un corps, ou un anneau principal). 

    L'argument n'est pas très compliqué: le point est de montrer que ton groupe $G$ (vu comme un groupe algébrique) admet une représentation fidèle projective de type fini sur $A$ : en effet si c'est le cas, par définition on a une injection $G\to GL(V)$, et puisque $V$ est projective de type fini, une injection $GL(V) \to GL_k(A)$. 

    Pour construire ça, on observe que $G$ agit sur $A[t_1,...,t_n] = A[G]$ de la manière suivante : chaque $g\in G$ fournit une application polynomiale $g\circ A^n\to A^n$, donnée par $n$-polynômes $g_i(t_1,...,t_n)$. L'action de $g$ sur $A[t_1,...,t_n]$ envoie $t_i$ sur $g_i$, et est étendue linéairement et multiplicativement. 

    Maintenant, l'énoncé est "le sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ engendré par $t_1,...,t_n$ est contenu dans un sous-$A$-module de type fini stable sous l'action de $G$" (*).  

    Plus généralement, tout sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ de type fini est contenu dans un sous-$A$-module de type fini stable sous l'action de $G$. On commence par observer qu'il suffit de le prouver pour des sous-modules engendré par un seul élément.

    Pour ce cas-ci (disons que l'élément en question est $t_i$, mais ça ne change rien), on observe que l'action de $G$ sur $A[t_1,...,t_n]$ est donné de la manière suivante: $\Delta: A[t_1,...,t_n]\to A[x_1,...,x_n]\otimes_A A[y_1,...,y_n] \cong A[x_1,...,y_n], t_i\mapsto P_i$ suivie de $A[x_1,...x_n]\xrightarrow{ev_g} A$. 

    En particulier, si on écrit  $\Delta(t_i) = \sum_j Q_j\otimes R_j$ on voit que $g\cdot t_i = \sum_j Q_j(g) R_j$ est dans le sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ engendré par les $R_j$'s. Il s'ensuit que $\langle g\cdot t_i , g\in G\rangle$ est contenu dans un $A$-module de type fini, et donc, par noethérianité, il est de type fini. 

    Cela prouve (*), et donc, par l'hypothèse que j'ai faite sur $A$, cela prouve qu'il y a un sous-$A$-module de $A[t_1,...,t_n]$ projectif de type fini, stable par $G$, et contenant les $t_i$. Appelons le $P$. Alors pour $g\in G$, $g\cdot t_i = P_i(g_1,..., g_n, y_1,..., y_n)$ de sorte que si $g\cdot t_i = t_i$ pour tout $i$, alors $P_i(g_1,...,g_n,y_1,...,y_n) = y_i$ pour tout $i$ et tout $y$, de sorte que $g\circ y = y$, et donc $g =$ le neutre de $G$. Donc $G\to GL(P)$ est injectif, et on peut conclure. 
  • (l'énoncé général est que, sur un tel anneau, tout groupe algébrique affine de type fini, dont l'algèbre de coordonnées est projective sur $A$, est linéaire, au sens où il a une représentation projective fidèle, donc un morphisme $G\to GL_n(A)$ pour un certain $A$)
    (pour simplifier et ne pas avoir à dire tout ça: sur un corps, tout groupe algébrique affine de type fini est linéaire)
  • Modifié (5 May)
    Merci Maxtimax. Je ne comprends pas $g \cdot t_i=P_i(g_1, \ldots, g_n, y_1,  \ldots, y_n)$. En effet, $t_i$ est un élément de $A[G]$ (ou de $G$), et $g$ agit sur $A[G]$, donc $g\cdot t_i$ est un élément de $A[G]$. Mais les $y_i$ sont des variables.
    Je vais réfléchir.
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