Résolution d'un système
Bonjour,
soit $P$ une matrice stochastique (somme des lignes égales à 1) et $\pi$ l'unique loi invariante associée à $P$ ie $\pi P=\pi$ et $\sum_i \pi_i=1$. Je cherche à résoudre en $M$ le système $m_{ij}=1+\sum_{k \neq j} p_{ik}m_{kj}$, les $m_{ii}$ étant connus : $m_{ii}=\frac{1}{\pi_i}$ (peu importe je pense, l'essentiel est de savoir que ce ne sont pas des inconnues).
Comment résoudre ce système ? Je ne parviens pas à le mettre de façon satisfaisante sous forme matricielle mais je propose :
$m_{ij}=1+\sum_{k} p_{ik}m_{kj}-p_{ij}m_{jj}$ ie $M=J+PM-P\tilde{\pi}^{-1}$ où $J$ est la matrice pleine de 1 et $\tilde{\pi}=\text{diag}(\pi_1,...,\pi_n)$ mais pour isoler $M$, je me retrouve à devoir inverser $I-P$ qui ne l'est pas (sinon $\pi$ serait nulle$). Bref, comment faire ?
J'aimerais bien une formule et pas un algorithme pour le résoudre.
Merci...
soit $P$ une matrice stochastique (somme des lignes égales à 1) et $\pi$ l'unique loi invariante associée à $P$ ie $\pi P=\pi$ et $\sum_i \pi_i=1$. Je cherche à résoudre en $M$ le système $m_{ij}=1+\sum_{k \neq j} p_{ik}m_{kj}$, les $m_{ii}$ étant connus : $m_{ii}=\frac{1}{\pi_i}$ (peu importe je pense, l'essentiel est de savoir que ce ne sont pas des inconnues).
Comment résoudre ce système ? Je ne parviens pas à le mettre de façon satisfaisante sous forme matricielle mais je propose :
$m_{ij}=1+\sum_{k} p_{ik}m_{kj}-p_{ij}m_{jj}$ ie $M=J+PM-P\tilde{\pi}^{-1}$ où $J$ est la matrice pleine de 1 et $\tilde{\pi}=\text{diag}(\pi_1,...,\pi_n)$ mais pour isoler $M$, je me retrouve à devoir inverser $I-P$ qui ne l'est pas (sinon $\pi$ serait nulle$). Bref, comment faire ?
J'aimerais bien une formule et pas un algorithme pour le résoudre.
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