Résolution d'un système

Alexique
Alexique
Modifié (May 2022) dans Algèbre
Bonjour,
soit $P$ une matrice stochastique (somme des lignes égales à 1) et $\pi$ l'unique loi invariante associée à $P$ ie $\pi P=\pi$ et $\sum_i \pi_i=1$. Je cherche à résoudre en $M$ le système $m_{ij}=1+\sum_{k \neq j} p_{ik}m_{kj}$, les $m_{ii}$ étant connus : $m_{ii}=\frac{1}{\pi_i}$ (peu importe je pense, l'essentiel est de savoir que ce ne sont pas des inconnues).

Comment résoudre ce système ? Je ne parviens pas à le mettre de façon satisfaisante sous forme matricielle mais je propose :
$m_{ij}=1+\sum_{k} p_{ik}m_{kj}-p_{ij}m_{jj}$ ie $M=J+PM-P\tilde{\pi}^{-1}$ où $J$ est la matrice pleine de 1 et $\tilde{\pi}=\text{diag}(\pi_1,...,\pi_n)$ mais pour isoler $M$, je me retrouve à devoir inverser $I-P$ qui ne l'est pas (sinon $\pi$ serait nulle$). Bref, comment faire ? 
J'aimerais bien une formule et pas un algorithme pour le résoudre.
Merci...

Réponses

  • LOU16
    LOU16
    Modifié (May 2022)
    Bonsoir
    L'équation $(\mathrm I_n -P)M = J -P \tilde {\pi}^{-1}$ admet en effet une unique solution $M$ telle que $m_{ii} = \dfrac 1{\pi_{i}}$, et la chose est liée à ce choix des $m_{ii}$.
    (il importe que chaque colonne de $\:J -P \tilde {\pi}^{-1}\:$ appartienne à $\:\text{Im}(\mathrm I_n -P) =\Big\{U \in \mathcal M_{n,1}(\R) \mid \displaystyle \sum _{i=1}^n \pi_iU_i =0 \Big\}$)
    Quelques notations.
    $\bullet \quad$ $\forall k \in [\![1;n]\!], \:\: U_k\: $ désigne le vecteur-colonne formé par les $n-1$ premiers termes de la $k-$ième  colonne de $J -P \tilde {\pi}^{-1}.$
    $\bullet \quad$$A $ est l'élément de $\mathcal M _{n-1}(\R) $ formé par les $n-1$ premières lignes et colonnes de $\mathrm I_n-P.$
    $\bullet \quad$Pour $U\in \mathcal M_{n-1,1}(\R), \:\: \widehat U$ désigne l'élément de $ \mathcal M_{n,1}(\R)$ obtenu en ajoutant  à $U$ une $n$-ième coordonnée, égale à $0$.

    Les "mineurs diagonaux" $d_1,d_2,\dots d_n\:$extraits de $\mathrm I_n -P$ sont proportionnels aux $\pi_1,\pi_2, \dots \pi_n:\: $
    $(d_1,d_2, \dots d_n)(\mathrm I_n -P) =0, \quad  (d_1,d_2, \dots d_n) \neq 0, \quad $donc $\:\:\text{Det}A= d_n \neq 0 .$
    $A$ est inversible. On obtient alors cette expression des $m_{ij}.$ 
    $$ \forall i,j \in [\![1;n]\!], \quad m_{ij}= \left(\widehat {A^{-1} U_j}\right)_i + \dfrac 1{\pi_j} - \left(\widehat {A^{-1} U_j}\right)_j .$$

  • Alexique
    Alexique
    Super, merci pour l’expression. Je vais essayer de me convaincre que c’est bien solution de mon système mais de toute façon, je le verrai numériquement très vite.
    Merci encore.
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