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Résolution d'un système

Modifié (4 May) dans Algèbre
Bonjour,
soit $P$ une matrice stochastique (somme des lignes égales à 1) et $\pi$ l'unique loi invariante associée à $P$ ie $\pi P=\pi$ et $\sum_i \pi_i=1$. Je cherche à résoudre en $M$ le système $m_{ij}=1+\sum_{k \neq j} p_{ik}m_{kj}$, les $m_{ii}$ étant connus : $m_{ii}=\frac{1}{\pi_i}$ (peu importe je pense, l'essentiel est de savoir que ce ne sont pas des inconnues).

Comment résoudre ce système ? Je ne parviens pas à le mettre de façon satisfaisante sous forme matricielle mais je propose :
$m_{ij}=1+\sum_{k} p_{ik}m_{kj}-p_{ij}m_{jj}$ ie $M=J+PM-P\tilde{\pi}^{-1}$ où $J$ est la matrice pleine de 1 et $\tilde{\pi}=\text{diag}(\pi_1,...,\pi_n)$ mais pour isoler $M$, je me retrouve à devoir inverser $I-P$ qui ne l'est pas (sinon $\pi$ serait nulle$). Bref, comment faire ? 
J'aimerais bien une formule et pas un algorithme pour le résoudre.
Merci...

Réponses

  • Modifié (6 May)
    Bonsoir
    L'équation $(\mathrm I_n -P)M = J -P \tilde {\pi}^{-1}$ admet en effet une unique solution $M$ telle que $m_{ii} = \dfrac 1{\pi_{i}}$, et la chose est liée à ce choix des $m_{ii}$.
    (il importe que chaque colonne de $\:J -P \tilde {\pi}^{-1}\:$ appartienne à $\:\text{Im}(\mathrm I_n -P) =\Big\{U \in \mathcal M_{n,1}(\R) \mid \displaystyle \sum _{i=1}^n \pi_iU_i =0 \Big\}$)
    Quelques notations.
    $\bullet \quad$ $\forall k \in [\![1;n]\!], \:\: U_k\: $ désigne le vecteur-colonne formé par les $n-1$ premiers termes de la $k-$ième  colonne de $J -P \tilde {\pi}^{-1}.$
    $\bullet \quad$$A $ est l'élément de $\mathcal M _{n-1}(\R) $ formé par les $n-1$ premières lignes et colonnes de $\mathrm I_n-P.$
    $\bullet \quad$Pour $U\in \mathcal M_{n-1,1}(\R), \:\: \widehat U$ désigne l'élément de $ \mathcal M_{n,1}(\R)$ obtenu en ajoutant  à $U$ une $n$-ième coordonnée, égale à $0$.

    Les "mineurs diagonaux" $d_1,d_2,\dots d_n\:$extraits de $\mathrm I_n -P$ sont proportionnels aux $\pi_1,\pi_2, \dots \pi_n:\: $
    $(d_1,d_2, \dots d_n)(\mathrm I_n -P) =0, \quad  (d_1,d_2, \dots d_n) \neq 0, \quad $donc $\:\:\text{Det}A= d_n \neq 0 .$
    $A$ est inversible. On obtient alors cette expression des $m_{ij}.$ 
    $$ \forall i,j \in [\![1;n]\!], \quad m_{ij}= \left(\widehat {A^{-1} U_j}\right)_i + \dfrac 1{\pi_j} - \left(\widehat {A^{-1} U_j}\right)_j .$$

  • Super, merci pour l’expression. Je vais essayer de me convaincre que c’est bien solution de mon système mais de toute façon, je le verrai numériquement très vite.
    Merci encore.
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