Lemme de Burnside

Tony Schwarzer
Tony Schwarzer
Modifié (May 2022) dans Algèbre
Bonjour.
Soit $G$ un groupe fini agissant sur $X$. Pour $g$ dans $G$ on définit :
$$X^g=\{x\in X \mid g.x=x\}$$
Je comprends parfaitement pourquoi $\sum_{g\in G}|X^g|=\sum_{x\in X} |Stab(x)|$, mais je ne comprends pas pourquoi je n'arrive pas à le démontrer par bijectivité... Pourtant ça paraît évident. Merci par avance pour votre aide.
[William Burnside (1852-1927) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Que signifie "le montrer par bijectivité" ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tu peux le montrer par bijectivité en introduisant un ensemble intermédiaire, à savoir $Y = \{(x,g)\in X\times G \mid gx = x\}$. 

    Si tu projettes sur $G$, les fibres sont $X^g$ donc le cardinal est le terme de gauche, et si tu projettes sur $X$, les fibres sont $Stab(x)$, donc le cardinal est le terme de droite. 

    Sans parler de projection, tu as deux bijections évidentes $\coprod_{g\in G}X^g \to Y  \leftarrow \coprod_{x\in X}Stab(x)$
  • Math Coss
    Math Coss
    NB : fibre = image réciproque d'un élément. 
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Bonjour.
    D'accord, merci. J'ai compris.
    JLapin, montrer par bijectivité signifie, comme vous le savez bien je pense, montrer en explicitant une bijection. J'imagine que c'est le vocabulaire qui vous dérange.
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Modifié (May 2022)
    Bonjour.
    On se donne $X$ et $Y$ des ensembles finis et $|X|=n$ et $G$ un groupe de permutation agissant sur $X$. On se donne $w$ la fonction poids sur $Y$ et on définit : $S_w = \{f:X\rightarrow Y \mid W(f)=w\}$. (Le poids d'une fonction $W(f)$ est bien sûr le produit des poids des valeurs). On cherche à appliquer le lemme de Burnside. Dans la feuille, il est dit que le théorème de Burnside permet de calculer $|S_w|$ (et la formule est donnée explicitement).
    Mais je ne comprends pas en quoi $|S_w|=|X/G|$. En effet, en quoi y a-t-il bijection entre l'ensemble des orbites et l'ensemble des fonctions de poids $w$ ? Je ne comprends pas bien. A priori, cela n'a aucun rapport.
    [Restons dans la discussion que tu as ouverte pour ton problème. AD]
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Déjà la définition de $S_w$ est bizarre, car écrire $W(f)=w$ est bizarre, car les deux objets n'ont pas la même nature.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    C'est quoi "la fonction poids" ? Qui est $W$ ? Tu dis "le produits des poids des valeurs" mais $Y$ a aussi une "fonction poids" ? 
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Modifié (May 2022)
    Erreur de ma part. $w$ est la fonction poids sur $Y$ et non sur $X$. Une fonction poids est, étant donné un ensemble (ici $Y$), associe à tout élément de cet ensemble un élément d'un anneau commutatif contenant les rationnels. Ces conditions, seules, permettent de définir une fonction poids. La fonction poids $W$ est simplement le produit : $W(f)=\prod_{x\in X}w(f(x))$. $X$ étant fini, cette quantité existe. Ceci étant dit, la définition de $S_w$ est aberrante, il semble que la nature des objets n'est pas respectée... Je ne comprends rien.
    Je n'ai pas précisé ces définitions car je pensais qu'elles étaient classiques en algèbre combinatoire.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ok, je ne sais pas dans quel contexte tu as rencontré cet énoncé mais en voici un qui a un sens. On se donne une fonction de poids $w$ sur $X$, et une $w'$ sur $Y$. 

    On définit alors $W(f)(y) := \prod_{x\in f^{-1}(\{y\})} w(x)$, ce qui donne une fonction poids sur $Y$. Alors, $\{f : X\to Y \mid W(f) = w'\}$ est au moins quelque chose qui a un sens - je ne sais pas si c'est ce que ton énoncé voulait dire (peut-être me suis-je créé une histoire alors que l'énoncé voulait dire "$w$ est constante égale à $W(f)$" avec ta définition de $W(f)$ ? )

    Bon, ensuite, l'énoncé, au-delà du problème de typage, n'a aucun sens puisque $S_w$ dépend de $Y$ mais pas $X/G$. Par exemple si $Y = \emptyset$ (et $X$ est non vide), alors $S_w = \emptyset$, ou si $Y =*$, alors $S_w$ est aussi un singleton, tandis que $X/G$... Donc qui est $Y$ par rapport à $(X,G)$ ? Cela doit être quelqu'un de particulier. etc. etc. 

    Donc il serait bon de voir s'il ne manque pas 10000 informations dans cet énoncé, et si les définitions sont les bonnes
  • Tony Schwarzer
    Tony Schwarzer
    Bonjour,
    Merci pour cette clarification. Il y a clairement des erreurs d'énoncé. Je vais essayer de les corriger.
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