Sinon, la présentation est un peu curieuse car elle pose une définition sous la forme qui sous-entend que l'objet existe, et son existence est signalée juste après. Voici un argument possible (je te donne juste de quoi partir). $L(E)$ est de dimension finie. Que dire alors de la famille $\{id,u, u^2, \ldots, u^N\}$ pour $N$ assez grand ?
Merci oui c'est expliqué après le "car" mais je ne vois pas le rapport entre ce qui est après le "car" et le degré du polynôme minimal supérieur à $1$. Pourquoi si $P(u)= \lambda id_E \ne 0$ alors $\deg \pi_u \geq 1$ ? C'est où qu'on utilise $\dim E \ne 0$ dans le raisonnement ? Si on note $\dim E=n$ alors $\dim L(E)= n^2$ donc la famille $(id, u, \cdots, u^{n^2})$ est liée car elle contient $n^2+1$ éléments. Donc il existe des scalaires non tous nuls $(a_0, \cdots, a_{n^2})$ tels que $a_0 id + a_1 u + \cdots + a_{n^2} u^{n^2}=0$ Le polynôme $P(X)=a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n^2} X^{n^2}$ est annulateur de $u$ et non nul. Mais pourquoi dans la proposition 54. 1 on ne donne pas la condition $E$ non nul ?
Si $P(u)\neq 0$ alors $P$ n'est pas un polynôme annulateur de $u$. Quel est le degré d'un polynôme constant non nul ? Que se passe-t-il si $E$ est de dimension $0$ ?
Surtout que c'est une hypothèse (le "non nulle") non nécessaire, la preuve ça t'embrouille.
Le polynôme minimal existe toujours en dimension finie même nulle. Tu peux vérifier que si E est de dimension nulle, alors l'unique endomorphisme de E (à quoi est-il égal ?) admet comme polynôme minimal 1.
Si $\dim(E)=0$, $Id_E=\tilde{0}$. Donc, lorsque l'on affirme que $\lambda Id_E\neq \tilde{0}$, on utilise bien le fait que $\dim(E)\geq 1$.
Pour ce qui est de la proposition 54.1), la démo que tu as faite marche très bien avec $n=0$... donc il est inutile d'exclure ce cas.
Maintenant, pour répondre à ta toute première question, les réponses sont fournies dans les deux photos que tu as données. Il suffit d'appliquer les théorèmes qui sont écrits précédemment !
@Philippe Malot le degré d'un polynôme constant non nul est $0$. Si $E$ est de dimension $0$, alors $u=0$ .
Montrons que si $E=\{ 0\}$ alors $\pi_u =1$. Prenons $P(X)=1$. Alors $P(u)=id_E =0$ donc $\pi_u \mid 1$. Ainsi $\pi_u = \pm 1$ mais $\pi_u$ est unitaire par définition donc $\pi_u =1$.
@bisam Merci mais je n'arrive pas à comprendre l'implication $P(u)= \lambda Id_E \ne 0 \implies \deg \pi_u \geq 1$...
Tu oublies la quasi totalité des quantificateurs de ton implication, c'est pour cela que tu ne comprends pas.
Ce qui est dit dans ton livre, c'est : $\forall P\in\mathbb{K}[X], \forall \lambda\in\mathbb{K}^*, (P=\lambda) \Rightarrow (P(u)\neq \tilde{0})$, autrement dit, aucun polynôme constant non nul n'est annulateur de $u$. Par conséquent, le polynôme minimal en particulier ne peut pas être constant.
@JLapin j'ai déjà montré que si $E$ est l'espace nul alors $\pi_u = 1$ ...
@bisam Ok merci, on utilise aussi que par définition $\pi_u$ est unitaire donc il ne peut pas être nul. À votre avis à quoi ça sert de prendre comme hypothèse $E$ de dimension non nulle pour le cours de réduction de MP ?
Si $u(x)= \lambda x $ alors $\lambda$ est valeur propre de $u$ associé au vecteur propre $x \ne 0$ mais si $E= \{ 0\}$ on ne peut pas parler de vecteur propre car $\forall x \in E \ x=0$.
Il n'y a pas de vecteurs propres donc pas de valeurs propres. Cependant, tout endomorphisme est diagonalisable !
Les matrices à 0 ligne et 0 colonne sont faciles à écrire mais pénibles à lire.
L'intérêt du polynôme caractéristique et du polynôme minimal, qui sont toujours égaux dans ce cas, est plutôt limitée... mais il reste vrai que la trace de tout endomorphisme est égal à la somme des racines du polynôme caractéristique comptées avec multiplicité et le déterminant égal à leur produit.
Bref, ce n'est pas indispensable de l'exclure, mais c'est quand même plus courant de ne considérer que des espaces non réduits à ${0}$ car il ne s'y passe pas grand chose !
Comment on sait que tout endomorphisme est diagonalisable si $E=\{0 \}$ ?
C'est quoi la définition de "diagonalisable" ?
Que connais-tu comme endomorphisme de l'espace nul ?
Qu'est-ce qui l'empêcherait d'être diagonalisable ?
PS pour la modération : ce n'est pas une recopie in extenso du message ci-dessus, c'est une citation, ce qui permet de suivre plus aisément le fil de la discussion. Merci d'avance.
Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$. Seul l'endomorphisme nul appartient à l'espace nul, mais il n'y a aucune vecteur propre dans $\{0 \}$ donc c'est impossible.
Une base de vecteur(s) propre(s) de $E$ est une partie $B$ qui est une base de $E$ telle que $\forall e, e\in B\implies (f(e),e)$ est liée.
Si $\emptyset$ n'était pas une base de vecteur(s) propre(s) de $\{0\}$ alors il existerait $e$ tel que $e\in \emptyset$ et $(f(e),e)$ libre, ce qui est faux. Donc $\emptyset$ est une base de vecteur(s) propre(s) de $\{0\}$ donc $f$ diagonalisable.
@troisqua merci très subtil comme raisonnement. Il faut se souvenir que $\{ 0 \} = Vect \emptyset$ et qu'une base de l'ensemble réduit à 0 est l'ensemble vide.
@JLapin @gai requin C'est vrai que c'est plus simple avec le polynôme annulateur scindé à racines simples.
Réponses
Merci OShine, ça me fournit ma dose de rire pour m'endormir.
Cordialement,
Rescassol
Pourquoi si $P(u)= \lambda id_E \ne 0$ alors $\deg \pi_u \geq 1$ ? C'est où qu'on utilise $\dim E \ne 0$ dans le raisonnement ?
Si on note $\dim E=n$ alors $\dim L(E)= n^2$ donc la famille $(id, u, \cdots, u^{n^2})$ est liée car elle contient $n^2+1$ éléments.
Donc il existe des scalaires non tous nuls $(a_0, \cdots, a_{n^2})$ tels que $a_0 id + a_1 u + \cdots + a_{n^2} u^{n^2}=0$
Le polynôme $P(X)=a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n^2} X^{n^2}$ est annulateur de $u$ et non nul.
Mais pourquoi dans la proposition 54. 1 on ne donne pas la condition $E$ non nul ?
Quel est le degré d'un polynôme constant non nul ?
Que se passe-t-il si $E$ est de dimension $0$ ?
Le polynôme minimal existe toujours en dimension finie même nulle. Tu peux vérifier que si E est de dimension nulle, alors l'unique endomorphisme de E (à quoi est-il égal ?) admet comme polynôme minimal 1.
Si $E$ est de dimension $0$, alors $u=0$ .
Montrons que si $E=\{ 0\}$ alors $\pi_u =1$. Prenons $P(X)=1$. Alors $P(u)=id_E =0$ donc $\pi_u \mid 1$. Ainsi $\pi_u = \pm 1$ mais $\pi_u$ est unitaire par définition donc $\pi_u =1$.
@bisam
Merci mais je n'arrive pas à comprendre l'implication $P(u)= \lambda Id_E \ne 0 \implies \deg \pi_u \geq 1$...
@bisam
Ok merci, on utilise aussi que par définition $\pi_u$ est unitaire donc il ne peut pas être nul.
À votre avis à quoi ça sert de prendre comme hypothèse $E$ de dimension non nulle pour le cours de réduction de MP ?
Si $u(x)= \lambda x $ alors $\lambda$ est valeur propre de $u$ associé au vecteur propre $x \ne 0$ mais si $E= \{ 0\}$ on ne peut pas parler de vecteur propre car $\forall x \in E \ x=0$.
Soit $u \in \{0 \}$ canoniquement associé à $M$ alors $\chi_M (X)= \det (X I_n-M)=\det(X I_n)= X^n =X^0 =1$. Donc $\pi_u =1$.
Seul l'endomorphisme nul appartient à l'espace nul, mais il n'y a aucune vecteur propre dans $\{0 \}$ donc c'est impossible.
@JLapin
@gai requin
C'est vrai que c'est plus simple avec le polynôme annulateur scindé à racines simples.