Dimension finie
Bonjour
Un exercice d'oral de CCINP 2021.
Soient $(u,v) \in \mathcal L(E,F)^2$ avec $E$ et $F$ deux $K$ espaces vectoriels de dimension finie.
Montrer que $\dim \ker (u+v) \leq \dim \ker(u) \cap \ker (v) + \dim Im(u) \cap Im (v)$
On remarque que $u+v \in \mathcal L(E,F)$.
D'après le théorème du rang, on a $\dim E = \dim \ker (u+v) + \dim Im (u+v)$
Donc $\boxed{\dim \ker (u+v)= \dim E - \dim Im (u+v)}$
Après je bloque.
Un exercice d'oral de CCINP 2021.
Soient $(u,v) \in \mathcal L(E,F)^2$ avec $E$ et $F$ deux $K$ espaces vectoriels de dimension finie.
Montrer que $\dim \ker (u+v) \leq \dim \ker(u) \cap \ker (v) + \dim Im(u) \cap Im (v)$
On remarque que $u+v \in \mathcal L(E,F)$.
D'après le théorème du rang, on a $\dim E = \dim \ker (u+v) + \dim Im (u+v)$
Donc $\boxed{\dim \ker (u+v)= \dim E - \dim Im (u+v)}$
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Réponses
@JLapin merci, ce fameux endomorphisme induit souvent utile.
$\ker(u+v)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Posons $w=u_{ | \ker(u+v)} \in \mathcal L( \ker(u+v) , F)$.
D'après le théorème du rang, on a $\boxed{\dim \ker (u+v) = \dim \ker (w) + \dim Im(w)}$.
Or $\ker (w)= \{ x \in \ker (u+v) \ | \ u(x)=0 \}$ et $Im(w)= \{ u(x) \ | \ x \in \ker (u+v) \}$.
Donc $\boxed{\ker (w)= \ker (u) \cap \ker(u+v)}$ et $Im(w) \subset Im(u)$.
D'après la formule de Grassmann : $\dim \ker (w)= \dim \ker (u) + \dim \ker (u+v) - \dim \ker (u) \cap \ker (u+v)$
Je ne vois pas comment aboutir, j'ai écrit trop de formules et je ne vois pas comment arriver au résultat.
Merci, j'arrive mieux à raisonner par inclusion que directement sur les ensembles.
Soit $y \in \ker (w)$. Alors $y \in \ker (u+v) \cap \ker (u)$. Donc $u(y)=0$ et $(u+v)(y)=u(y)+v(y)=v(y)=0$.
Donc $\ker(w) \subset \ker(u) \cap \ker (v)$. Réciproquement, si $z \in \ker (u) \cap \ker (v)$ alors $u(z)=v(z)=0$ donc $(u+v) (z)=0$.
On a montré que $\boxed{\ker(w)= \ker (u) \cap \ker (v)}$
Soit $y \in Im(w)$. Alors il existe $x \in \ker(u+v)$ tel que $y=w(x)$. Mais alors $y=u(x)$. Comme $x \in \ker (u+v)$ on a $u(x)+v(x)=0$ donc $u(x)=- v(x)=v(-x)$ par linéarité.
Ainsi, $y =u(x)= v(-x)$ donc $y \in Im(u) \cap Im(v)$. On a montré $\boxed{Im(w) \subset Im(u) \cap Im(v)}$.
Réciproquement, soit $z \in Im(u) \cap Im(v)$. Alors $z=u(x)$ et $z=v(y)$ avec $x,y \in E$. Donc $u(x)=v(z)$.
N'ayant pas réussi à démontré la réciproque, on peut simplement dire que $\boxed{Im(w) \subset Im(u) \cap Im(v)}$ donc $\dim Im(w) \leq \dim Im(u) \cap Im(v)$.
$\dim \ker (u+v) = \dim \ker (u) \cap \ker (v) + \dim Im(w) \leq \dim \ker (u) \cap \ker (v) + \dim Im(u) \cap Im(v)$.
Ce qui donne $\boxed{\dim \ker (u+v) \leq \dim \ker (u) \cap \ker (v) + \dim Im(u) \cap Im(v)}$.